6.1求解笛卡尔坐标系下的拉普拉斯方程

6 拉普拉斯方程求解

在本节，我们将解开拉普拉斯方程在笛卡尔坐标系和球面坐标系下。前者解对平面或者区域应用是十分有用的。后者的解是全球方案。两者都将发展为以正交基函数表示（分别为傅里叶序列和球谐序列）

拉普拉斯方程的解是最重要的一步去解决边值问题。第二步将边界方程用同一组级数表示并确定这些级数的系数。

6.1 笛卡尔坐标系

考虑到以x和y为水平坐标，z为垂直坐标情况， z<0意味着位置在地球内部，z>0在地球外部（这里可能会有疑惑？）。我们的任务就是找出在z>0的解。对于这组微分方程，有个很重要与实用的策略就是分离变量法。这是一个很好的方法，常用于求解微分方程。分离变量法本身的意义就是建立互相正交的基。这是我一个很朴素但是又贴合实际的解释。首先，我们把这个拉普拉斯方程的解三个函数的乘积，这三个函数分别为三个独立变量的函数。

这里短暂回顾一下拉普拉斯算子的形式：

由此可以看出，拉普拉斯算子是个对标量才起作用的，输出标量的算符。

将算子用在公式6.1上，我们得到

为了方便表示，我们采用了简单的形式 (）， 并对公式进行调整得到以下结果。

分离变量可以很清楚地分离出被求导的变量。我们不加解释的直接先定各个子方程的常数。

6.3的方程都是二阶常微分方程（ODE），因此直接可以求得它们的基础解

当然，每一个解都可以跟一个常数或者说振幅相结合。这个6.2方程的解将会表示为f,g,h的乘积形式。但是对于每一个n和m，我们都会有一组新的解，因此，我们不得不叠加每个n和m的所有可能组合的所有解。

用复数指数去替换这些sin和cos基函数，我们可以得到更紧凑的表达式：

由欧拉公式 

三角恒等变换

如果看不明白，可以尝试把n，m组成的四个象限的情况分开求和即可。