Magnetism1
照样，Maxwell+Lorentz+特定性假设。
从Maxwell4看出，磁场来源于电流，即运动的电荷。这是自然的，磁场无非是电场在另一个坐标系下看。磁体就是分子电流，虽然没有明面上的电流。关于磁性物质是个很复杂的问题（各种特定性假设），以后慢慢讲。
Maxwell方程中出现的两个基本常数：真空介电常数\epsilon_0与真空磁导率\mu_0。前者8.85×10^{−12}F/m是经常用到的常数；后者在单位之中by definition是4π×10^{−7} V·s/(A·m)。解出振动解很容易看到真空光速为c=1/sqrt{\epsilon_0\mu_0}。由此记单位倒是比较方便。
磁感应强度B，单位特斯拉T。磁场强度这个名字先给H了，但是B是更基本的量。T是个很大的单位。冰箱贴的磁场为0.001 T。核磁共振通常为几个T，这是相当大的磁场。另外一个常用的单位是高斯（1Gs=10^{-4}T）。这两个在日常生活中都极其常用。我们可以想，为什么电场强度没有专门的单位，而磁场有两个专门的单位？因为实际上很少会去算电场有多大，但是随便拿出一个磁铁来都会说它的磁场是多大。再举几个例子感受一下。地磁场是零点几个高斯（还是足够把磁铁转过去的）。平时玩的磁铁大概几十上百个高斯，我们不会用特斯拉来说。到核磁共振我们就不会说几个高斯，而是几个特斯拉。
Biot-Savart定律
类似静电荷产生电场的Coulumb定律，我们也希望有一个类似的稳恒电流产生磁场的公式，方便随随便便拿来计算（做题），这就是Biot-Savart定律。这里说的当然是稳恒电流（静磁场）。
首先，静磁场的方程为：
要紧的是第二个，它说电流周围会有环绕着的磁场。
我们得先搞清楚旋度是什么方向的：要记住是右手定则。叉乘无非都是右手定则。
然后我们具体看看磁场大小是多大。对于直导线，用Stokes定理更加简单：
这样直导线周围的电磁场（大小和方向）就知道了。
不过这个式子还不够general。假设只有一个点有一个电流密度j，长度为dl，则它产生的dB是多少？直接给出公式：
可以验证它满足Maxwell方程。不过这样还是比较莫名其妙，不知道怎么来的，而且也很难记...更进一步的理解，需要看磁矢势。磁矢势形式的Biot-Savart定律为：
这个式子可以完全直接类比静电场。把它做旋度就得到
所以没有必要记origin形式的Biot-Savart定律，只需要磁矢势形式就够了。其实，静电场中我们经常先算\Phi再梯度得到E；静磁场中也有一样的技巧。
安培力定律
这无非是Biot-Savart+Lorentz罢了。
磁矢势
静电场用电势研究在数学上比较简单。同样，静磁场用磁矢势研究比较简单。
首先，因为磁场无源，可以找到势场A：
不过这是个矢量势了，比电势复杂。由此也可以看到磁场比电场麻烦。
电势需要规定零点，比如无穷远处为0。同样，磁矢势也要规定“零点”。一般使用Coulumb规范：
这样Maxwell方程就转化为：
这就是一个Poisson方程，在数学上的formulation就完成了。既然有了Poisson方程，其解就可以类比Coulumb定律直接写出来：
这是和Coulumb定律一样直截了当的。Coulumb规范需要验证一下，是成立的。这个式子似乎没有专门的名字，不过我还是直接叫它（磁矢势形式的）Biot-Savart定律，和Coulumb定律是counterpart。
Maxwell方程两个式子比较莫名其妙，写成等价的磁矢势的Poisson方程在数学上就舒服多了。
应用：Helmholtz线圈
这是平时极其常用的一个东西，是最简单的产生匀强磁场的方法。简单来说就是这样：
间距等于半径的时候，中点最接近匀强磁场。具体的证明自己算一下就知道了。
积分形式的Maxwell方程
对于静磁场，积分形式的Maxwell方程即为：
1.磁场的Gauss定律：
这个面积分称为磁通量，单位为Weber。
2.Ampere环路定律：
它可以用来计算一些具有对称性的磁场。
磁介质
涉及材料，就必须引入特殊性的假设。目前先都采用分子电流观点：
在此之前，我们得研究小圆电流圈的磁场，也就是磁偶极子。在电场中，电偶极子是多极展开的第二项，所以并不是那么重要。然而对于磁场而言，它没有磁单极子，多极展开的第一阶就是磁偶极子，所以磁偶极子具有本质性的重要性。每个分子都是一个磁偶极子（其来源一是电流，二是自旋）。
姑且不去计算，完全类比介质的极化。磁矩是\mu=Ia的极限。介质中的磁矩密度叫做磁化强度M。
极化对电磁系统的干扰在于，极化会导致净电荷的产生（极化电荷），影响了Maxwell方程中的电荷项；同理，磁化对这个电磁系统造成的干扰在于，磁化会导致净电流的产生（磁化电流），影响了Maxwell方程中的电流项。【我们可以看Maxwell方程。如果不然Maxwell方程根本没变，解也不变，有没有介质完全没有影响】
那么，磁化如何产生净电流？类比极化强度和极化电荷，我们很容易直观看出：
另外还有一个效应，就是如果极化强度随时间变化的话，会产生电流（虽然在静电/静磁问题中没有），称为极化电流：
把这些项代入Maxwell方程即可。
我们来总结一下关于介质的一般结论（不要求特定假设）：
出发点：真空Maxwell方程是永远成立的，不管介质不介质。如果在介质中，除了自由电荷和自由电流之外，还会因为极化和磁化产生另外的电磁场，归入\rho和j项就完事了。只不过为了只处理自由电荷和自由电流，我们在数学上做一些归并，只留下自由的部分。介质Maxwell方程并不是本质的。同理，介质中电磁能量密度也不是本质的。
整体的逻辑：
3.我们定义出了两个新的物理量：电势移（电位移矢量）D和磁场强度H。它们只是为了方便构造出来的辅助量，并不能非说它们有什么物理意义。
4.本构关系。其实也就是P和M对于E和B的依赖关系。这个依赖关系可以是任意的，线性也好，非线性也好，局域也好，非局域也好，甚至可以依赖于过去的历史（所以我们用方括号写，表示泛函而不是函数）。这就完全依赖于材料了，有时候能通过凝聚态理论推出来，有时候完全就是实验近似。本构关系就是我们一直说的“特定性假设”。
5.新的Maxwell方程+本构关系是complete的，想解什么就解什么。
不同介质/不同本构关系
这一小节讨论不同的介质，其实也就是不同的本构关系。
【线性介质】极化和磁化都是线性的，即本构关系为：
这里面常数很多，要搞清楚：
\chi_e，极化率，直接刻画被极化的倾向；
\epsilon_r，相对介电常数，是和真空介电常数的比值，没有量纲，一定大于1；
\epsilon，绝对介电常数；
\chi_M，磁化率，这个是按照磁场强度定义的，不是很自然，不过已经约定俗成了；可以正也可以负，看是顺磁性还是逆磁性。
\mu_r，相对磁导率；
\mu，绝对磁导率。
【铁磁性】线性介质在撤走电场和磁场之后，极化和磁化就消失了。但是日常生活中我们看到铁、镍之类的物质在磁化后会保持磁化。这样本构关系就必然不是单值函数了。
顺带一提，铁磁体跟percolation是相联系的。
物质磁性的微观解释
原子的磁矩来自于三个方面：
电子自旋；
电子角动量；
核自旋，低很多量级，一般忽略。
如果总和非0，则自然有顺磁性，从经典眼光就可以理解。如果总和为0，则表现出抗磁性。这是一种量子效用，在有顺磁性的时候基本会被掩盖掉，只有磁矩为0的时候会体现出来。那些被认为具有抗磁性的材料通常被非物理学家作为非磁性物质看待。它们包括水，DNA，绝大多数有机化合物如石油和一些塑料，和金属如水银（元素），金和铋。
静磁场问题的一般求解
静电场问题的一般求解归结于Poisson方程。我们希望对于磁场也有类似的无脑方法。我们看到磁矢势也满足一个矢量Poisson方程。那么边界条件怎么取？只要用积分形式一些就知道了，这里不再赘述。
接下来讨论一下电磁感应的问题。说起来无非就是：
积分形式为
感应电场产生的是非静电力。容易看出感应电场方向可以由Lenz定律给出。
有时候会分感生电动势和动生电动势。不过这并没有什么所谓，最终都可以归结到Maxwell+Lorentz上。纠结在感生电动势/动生电动势上的时候有时候会出一些毛病。费曼举了这样一个例子：
一个光敏电阻在跑，有一段区域照有强光，这块区域的电阻变成导体。根据Lorentz力公式，电阻上的电子会跑起来，形成电流。然而通量定则告诉我们没有电动势。问题出现在，Lorentz力公式和Maxwell方程总是对的，但通量定则则未必。这是个法拉第感应定律不适用的案例。
