【趣味数学题】算额三圆题

2021-07-03 14:37 作者:AoiSTZ23 0人读过 | 我要投稿

郑涛 (Tao Steven Zheng) 著

【问题】

图 1 显示日本群马县（Gunma ken）的一道著名算额（sangaku）几何问题。设左圆的半径为 $%7Br%7D_%7B1%7D$ , 右圆的半径为 $%7Br%7D_%7B2%7D$ , 中间圆的半径为 $%7Br%7D_%7B3%7D$ , 求中间圆的半径公式。

【题解】

设 $%7Br%7D_%7B1%7D%2C%20%7Br%7D_%7B2%7D%2C%20%7Br%7D_%7B3%7D$ 分别表示左圆、右圆和中间圆的半径。据图 2, $AG%3D%7Br%7D_%7B1%7D$ , $BH%3D%7Br%7D_%7B2%7D$ 和 $OC%3D%7Br%7D_%7B3%7D$ 。此外, $AE%3D%7Br%7D_%7B1%7D-%7Br%7D_%7B3%7D$ , $BF%3D%7Br%7D_%7B2%7D-%7Br%7D_%7B3%7D$ , $BD%3D%7Br%7D_%7B2%7D-%7Br%7D_%7B1%7D$ 和 $AB%3D%7Br%7D_%7B1%7D%2B%7Br%7D_%7B2%7D$ 。设 $EO%3Dx$ 和 $FO%3Dy$ , 则 $AD%3Dx%2By$ 。

应用勾股定理，得

$x%5E2%2B(%7Br%7D_%7B1%7D-%7Br%7D_%7B3%7D)%5E2%3D(%7Br%7D_%7B1%7D%2B%7Br%7D_%7B3%7D)%5E2$

$y%5E2%2B(%7Br%7D_%7B2%7D-%7Br%7D_%7B3%7D)%5E2%3D(%7Br%7D_%7B2%7D%2B%7Br%7D_%7B3%7D)%5E2%0A$

$(x%2By)%5E2%2B(%7Br%7D_%7B2%7D-%7Br%7D_%7B1%7D)%5E2%3D(%7Br%7D_%7B1%7D%2B%7Br%7D_%7B2%7D)%5E2%0A$

简化以上三个方程式成

$x%5E2%3D4%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B3%7D%0A%0A$

$y%5E2%3D4%7Br%7D_%7B2%7D%20%7Br%7D_%7B3%7D%0A%0A$

$(x%2By)%5E2%3D4%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B2%7D%0A$

取正平方根，得

$x%3D2%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B3%7D%7D%0A%0A$

$y%3D2%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B2%7D%20%7Br%7D_%7B3%7D%7D%0A%0A$

$x%2By%3D2%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B2%7D%7D%0A$

故得，

$%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B3%7D%7D%2B%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B2%7D%20%7Br%7D_%7B3%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B2%7D%7D%0A%0A$

$%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B3%7D%7D%20%20(%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%7D%2B%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B2%7D%7D)%3D%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B2%7D%7D%0A%0A$

$%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B3%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%20%7Br%7D_%7B2%7D%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B1%7D%7D%2B%5Csqrt%7B%7Br%7D_%7B2%7D%7D%7D%0A$