S8G1 定角对定边的轨迹

2020-12-14 08:12 作者:学用数学 0人读过 | 我要投稿

在学圆周角时，都会知道一个重要的性质，在圆上同一条弦所对应的圆周角都相等。而这个其中一个特殊情况就是当弦为直径时，所对应的圆周角为直角。这个定理还有个名称是泰勒斯定理，由古希腊数学家泰勒斯 (Thales' BC 642 ~ BC 546) 最先发现。

对于等弦对等角这个特性，在考题上经常以逆向的形式来出现。就是给定一个定直线AB，若有一个动点P 使得角 APB 为定角，则 P 点的轨迹为何？

在这节就要来用 Geogebra 来探讨这个定理。并介绍几个与这个定理相关的考题的 Geogebra 课件。

任务一：给定线段与定角显示其轨迹

问题拆解思路：

* 要做出 ∠APB 为定角的点 P 轨迹，关键在于找到圆心O。

* 在这要利用同弧所对应的圆心角∠AOB为周角角 ∠APB的 2倍。先过点 O 对弦 AB 作垂线交 AB 于点 M ，此时有 ∠APB=∠AOM 。

* 为了使得 ∠APB=∠AOM ，所以先作∠OAB=90°- ∠APB 。因此，O 点可通过 AB 的中垂线与将 AB 绕 A 转 90°- ∠APB 的直线的交点。

作图步骤：

# 基本设置

A = (-1,0)

B= (1,0)

M = (0,0)

# 找圆心

α = 60deg

rAB = Rotate(line(A,B), 90deg- α,A )

pbAB = PrependicularBisector(A,B)

O = intersect(rAB , pbAB)

# 作动点轨迹

caOAB = CircularArc(O, A, B)

P = Point(caOAB)

# 标示角

sAP = Segment(A,P)

sBP = Segment(B,P)

aAPB = angle(A,P,B)

sAO = Segment(A,O)

sBO = Segment(B,O)

sMO =Segment(M,O)

aAOM = angle(A,O,M)

任务二：用滑动条来控制画面的显示

思路：

* 在课堂演示时，可建一个滑动条来让圆心角与圆弧依序出现，可利用滑动条 hn 与 [显示条件] 来达到这个效果。

步骤：

# 新增滑动条 hn

# 对圆心角相关的物件（O，sAO, sOM, ...) 的[设置][高级][显示条件] 输入 hn >=1 。

# 对圆周角上的物件（caAPM) 的[设置][高级][显示条件] 输入 hn >=2 。

# 新增动态文本，来将文本中的角度数值的会随滑动条而改变。

练习一：中考徐州2020-填充18

说明：这是个定角对定边的基本问题，由定角构造出辅助圆。要求最大面积就是找圆上离 AB 最远的点。

练习二：建中科學班108多選2

说明：这题先利用 CP= BP 来构造 P 点的位置，进一步可观察到 APB 为对定边 AB 的定角，而分析出 P 位在以 M 为圆心的圆上。

补充：在 Geogebra 的制作上，是先利用几何关系 CP = CB 来绘制出 P 点，再利用 Locus 指令来绘制出其轨迹。

总结与回顾

定角对定边的制作主要使用辅助圆，最关键的就是圆心的构造。关于这个模型在中考题中有许多的应用，欢迎大家多找些相关的问题。日后也会将这些题整理在以下链接中。

https://www.geogebra.org/m/nyzwtyhm#chapter/582472