【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep50】实数完备性第一波定理互推

昨天居然忘写题目了“Ep49：实数完备性定理第二发：单调有界原理”，在这里补一下，就不随便编辑了，b站编辑文章太麻烦。

我们在Ep20提到：

“完备性”是“实数”完全不同于“有理数”的一个性质。

——所以，由此可以导出许多“实数”独有的定理。

以及——

“‘实数完备性/连续性’也是在大学数学专业《数学分析》课程中遇到的第一个重要的概念，以此为起点，导出的“实数连续性的六个定理”的相互推导，曾几何时是“北大数学系考研”连续几年《数学分析》的必出题，……，当然这道题往往是其中的送分题，……，简言之，就是，“实数的完备性”部分是数学系第一个要下功夫的学习重点。”

——实际上，实数基本原理有七个，但是聚点原理一般教材一元微积分部分不会深聊，所以我们掌握前六个翻来覆去的推导即可。

我们在Ep21聊了“实数完备性”的第一个定理——“确界原理”：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

我们在Ep49聊了第二个定理——“单调有界原理”：单调有界数列必收敛。

同时，我们介绍了如何从”确界原理“推导出”单调有界原理“——

以单增有上界为例——

1. 我们已知单增有上界数列{an}，这个数列中的所有项构成了数集A，存在上确界a，使得其中任意元素an<=a；——上界的定义；

2. 对任意小数e>0，存在自然数N，使得aN>a-e；——上确界的性质；

3. 由1、2，an<a+e；——上确界的性质；

4. 由1、2、3，和数列单调性，得到对任意n>N，有a-e<aN<an<=a<a+e；

5. 我们复述2、4部分内容：对任意小数数e>0，存在自然数N，对任意n>N，有a-e<an<a+e，即|an-a|<e，即a为数列{an}的极限。

我们再试着由”单调有界原理“推导出”确界原理“——

以非空有上界数集B为例——

如果数集B包含最大数M，易证M即为该数集的上确界；

如果数集不包含最大数，我们用“二分法”找出一个满足B的上确界的定义的数即可——

1. 我们已知数集B非空，所以数集中必然存在元素b1属于B；

2. 我们已知数集B有上界，即存在c1不属于B，使得对于B中任意元素x，x<=c1；

3. 由1、2，b1<=c1；

4. 我们将区间[b1，c1]等分为两份：[b1，（b1+c1）/2]和[（b1+c1）/2，c1]——

   如果（b1+c1）/2属于B，则记b2=（b1+c1）/2，记c2=c1；

   如果（b1+c1）/2不属于B，记c2=（b1+c1）/2，记b2=b1；

5. 我们将区间[b2，c2]等分为两份：[b2，（b2+c2）/2]和[（b2+c2）/2，c2]——

   如果（b2+c2）/2属于B，则记b3=（b2+c2）/2，记c3=c2；

   如果（b2+c2）/2不属于B，记c3=（b2+c2）/2，记b3=b2；

6. ……

7. 我们将区间[bj，cj]等分为两份：[bj，（bj+cj）/2]和[（bj+cj）/2，cj]——

   如果（bj+cj）/2属于B，则记bj+1=（bj+cj）/2，记cj+1=cj；

   如果（bj+cj）/2不属于B，记cj+1=（bj+cj）/2，记bj+1=bj；

8. 将上述过程无限进行下去，我们得到了两个单调数列{bn}和{cn}，其中——

   b1<b2<……<bj<bj+1<……<bn<……{bn}各项都属于B；

   c1>c2>……>cj>cj+1>……>cn>……{cn}各项都是B的上界；

9. 因为B有上界，所以{bn}单增有上界，有极限b；

10. 因为任意n，都有cn>=b1，所以{cn}单减有下界，有极限c；

11. 又因为 lim（cn-bn ）=lim [（1/2）^（n-1）]（c1-b1）=（c1-b1）lim [（1/2）^（n-1）]=0；

12. 由11，c-b=lim cn-lim bn =lim（cn-bn ）=0，则c=b；

13. 因为对于B中任意元素x<=cn，所以x<=lim cn=b；

14. lim bn=b，即对任意e>0，存在N,，当n>N时，|bn-b|<e，即b-e<bn<b+e；

15. 由13、14，知b为该数集的上确界。

利用“单调有界原理”证明其他定理的核心技巧，就是这里的“二分法”，乍一看有点复杂，多默写几遍就好了。

明天休息！