实分析第三章——积分的微分

首先我们明确本章考察对象：

（注意连续函数等式成立以及以下定理的B均指球）

那么先观察极大函数的性质：

证明此定理之前，先证明一个引理（Vitali第一覆盖）：

证明如下：（构造）

这下回到定理3.1:

第一部分即按照可测函数的定义（并注意开集可测）和极大函数中sup的性质即可：

第三部分则就可利用Vitali第一覆盖：

再得到所有紧子集成立后，则对自己本身也成立（可以用紧集逼近）。

第二部分只需证明等于无穷的集合为零测集即可：

对定理3.1澄清一些性质：

首先明确证明目标：

由于f的性质可能不够好，我们可以利用紧支撑逼近：

改写：

则令：

利用Tchebychev不等式和Vitali第一覆盖：

下面注意勒贝格集和勒贝格密度：

证明如下：

按照勒贝格集定义，以及利用有理数可数并且在R上稠密

对此有思考：

接下来观察正则收缩：

利用正则收缩的定义转换成球情形即可：