微分流形——微分几何与广义相对论的学习笔记与感悟

我们最先认识的空间就是我们生活的三维空间，在该空间中，欧几里得用5条公设建立了大家熟知的几何学，现在叫做“欧几里得几何”空间也被称为“欧氏空间”。

像欧氏空间这样的“平直”空间的性质是多么的好，可是事与愿违，现实中不是所有空间都是这样的平直的。但是我们借助微积分中的思想，“曲线可以在局部用直线代替”，“曲面可以在局部被平面代替”…于是考虑任意的“一般空间”在局部可以被平直的空间代替。

于是在拓扑M要成为n维流形，需要使得M的开覆盖{Oα}的元素Oα与Rn的映射ψα是同胚映射，自从有了Oα和ψα和就可以确定一个局域坐标系用（Oα，ψα）表示，因为每个M中的点都可以通过ψα与一个有n个实数组成的有序数组一一对应。这个数组也就是坐标。

微分流形与拓扑空间的重要区别是前者除了拓扑结构外还有微分结构，因此两个流形之间的映射不但可以谈及是否连续，还可以谈及是否可微，那只是否是C∞

（待续）