音阶4（fa）的得出：五度相生律的推导是双向操作的

贝多芬189、音阶4（fa）的得出：五度相生律的推导是双向操作的

有哪些神奇的数学巧合？——网友提问

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

…
弹吉他的赵同学（2019-02-23 14:07，4 377人赞同了该回答）：…

 

2019年2月23日更新：

鉴于多位知友询问“4”是怎么来的，于是在此，对此部分内容进行补充。

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

五度相生律的推导，实际上是双向操作的：以1的频率f为基准，将频率依次乘3/2（如果结果超过2f，就除以2），依次得到5、2、6、3、7、#4、#1、#5、#2、#6；

…律：见《欧几里得42》…

…五度相生律：见《贝多芬188》…

…推、导、推导：见《欧几里得7》…

…五度相生律的推导：见《贝多芬188》…

…频、率、频率：见《贝多芬25》…

…结、果、结果：见《牛顿105》…

（…《牛顿》：小说名…）

以1的频率f为基准，依次将频率除以3/2（如果小于f，就再乘2），依次得到4、b7、b3、b6、b2、b5。

计算结果表明，五度相生律中#1、b2的频率相近，但是并不相同。

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

…结、果、结果：见《牛顿105》…

 

 

虽说用五度相生律得出的音阶，可以满足和声上的要求，但是它的弊端也很明显：这些音并不是“等距”的。

…音、阶、音阶：见《贝多芬155，188》…

 

也就是说，看似距离相同的、相邻两个音，实际上它们的距离并不同，有微小的偏差。

即使是这微小的偏差，对音乐的发展，也产生了极大限制。

…音、乐、音乐：见《欧几里得146、147》…

…发、展、发展：见《伽利略21》…

（…《伽利略》：小说名…）

 

这意味着，一旦乐曲要变调，那么整个音阶中所有音的音高，都需要做微小的调整。

…变调：见《贝多芬111、C大调就是C调吗？啥是大小调？24调式是咋出来的？啥是调式？》…

…音、高、音高：见《贝多芬38、39》…

这个问题直到十六世纪末、十七世纪初（1590年~1630年）才被解决。

我国明朝音乐家、律学家朱载堉（yù）首次证明了，可以将频率之比为1：2的两个音之间，以等比的方式12等分，公比为2^（1/12）。

…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…

…学：见《欧几里得4》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

…频、率、频率：见《贝多芬25》…

…比：见《欧几里得27》…

…^：乘方…

…2^（1/12）：2的1/12次方…

这样就确定了一个音阶中，所有音的音高。

这就是著名的十二平均律。

那么问题来了：按照五度相生律原本频率之比为2：3的两个音，现在换成十二平均律后，频率比变成1：2^（7/12）了。

[

弹吉他的赵同学（2019-02-23 14:07，4 377人赞同了该回答）：

2^（7/12）≈3/2

 

说出来你可能不信，我们每天常听到的音乐，之所以能发展到现在的水平，就是由于数学上这个近似成立的巧合。

——《贝多芬187》

]

 

以这种无理数等比数列的方式，得到的音阶，能保证和声（两个以上不同乐音混合在一起，就构成和音）的谐和吗？

…方、式、方式：见《欧几里得57》…

…谐：见《牛顿98》…

…和：见《牛顿35》…

 

神奇的地方就在这里，

答案是能，

因为数学上的一个很凑巧的事实：

…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…

事实上，我们将所有音都列出来，就会发现，十二平均律和五度相生律相差无几。

十二平均律的问世，对后世的影响十分巨大，它不仅方便乐曲的变调，更使得定音乐器（钢琴，编钟等）的产生成为可能。

 

十二平均律对和声学的发展也有巨大影响，

很多转调、移调的手法，都可以归结为十二平均律带来的结果。

…结、果、结果：见《牛顿105》…

 

时至今日，我们听到的几乎所有音乐，都是以十二平均律来定音的。

 

然而，这么nb（牛逼）的十二平均律，背后的原理，就是这样的一个数学上的巧合：

2∧（7/12）≈3/2

…原、理、原理：见《欧几里得41》…

 

“草木自葳（wēi）蕤（ruí）（2018-10-30，257赞）：我知道为什么我五音不全了……

丷咯赖呾 回复 草木自葳蕤（2018-11-14，297）：…别自卑，你五音不全和数学差没关系，只是恰好两方面都不行罢了。

请看下集《贝多芬190、啥是五音不全？如何纠正五音不全？》”

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