学习笔记：PID上有限生成模的结构定理

本文仅供笔者复习时使用，如有错误，欢迎指正。

设是一个主理想整环，M是D上的有限生成模，以下对M的结构进行讨论。

一、主理想整环上的自由模

        我们思考如何对一个有限生成模进行讨论，由前面自由模的性质知，对任意由生成的模，我们都有模同态：

,  使  ，而  是自由模  的子模，这启示我们想研究M的结构，就要先对自由模的子模进行研究。

定理1：主理想整环上自由模的子模仍是自由模，且子模的秩不大于原来模的秩。

证明：采用归纳法，不在此赘述。

        这是研究主理想整环上有限生成模的最核心定理之一，如今我们已经明确了是两个自由模的商模，对于自由模我们可以用一组基来确定它的结构，那么这两组自由模是否各存在一组基，能够像线性空间与其子空间的基一样紧密相联，从而方便我们确定二者商模的关系呢？我们的答案是肯定的。

定理2：设M和N是两个自由模，对任意模同态：，都存在两组基{} 和 {}，满足：

(i) 对 ;

(ii) 对 ;

(iii) 对 .

证明：利用主理想整环上矩阵的标准型易得。

        将结论应用到  上，我们就得到了

由此，我们下面可以正式开始讨论有限生成模M的结构。

二、主理想整环上有限生成模的结构

        先给出几个定义

定义1：  ，称该子集为 u 的零化子，零化子集既是D模的子模，又是D作为环的理想。

定义2： 若ann(u)={0} ,则称u为自由元，若否则称其为扭元

若M没有扭元，则称M为无扭模；若M中所有元素都是扭元，则称M为扭模。

注意：自由模不一定是无扭模

定理3：若M是D上的有限生成模，则存在   ,使得

满足 

证明：利用定理2的推论易。

        而由于零化子从某一项开始恒等于0，我们知道，M其实可以分为一个扭模和一个无扭模的直和。再对无扭模应用定理3，得到结论：

在主理想整环上，无扭模一定是个自由模。

于是，我们得到了有限生成模M的结构：

        到这一步，我们已经初步得到了PID上有限生成模的结构，接下来要做的工作就是在这样的直和分解下，去寻找在同构意义下的不变量，从而判断两个有限生成模是否同构。

大概明天会更剩下的，应该不鸽