Unit8（8.1-8.4）多元函数微分
Unit8(8.1-8.4) 多元函数微分
一、导言：
在学完了空间坐标系之后，我们的目光从二维的平面投向三维的空间，点不再仅仅存在于一个平面上，而是存在于立体的空间之中。而一组点，也就是点集，为了方便探讨它们之间的内在联系，我们用多元的方程来描述点。
在之前，点的领域包括数轴正负两个方向。趋近某点时，只会有左趋近和右趋近两种方式，而放在平面中，点的领域呈现圆形，有不同种方式趋近它。平面上，由点构成的点集与点形成关系，分为内点，边界点，外点，聚点，孤立点。而又根据点集本身性质，分为开集，闭集，连通集，以及有界集与无界集。这些关系都将在正文细说。
在研究完点之后，我们将目光投向多元函数。多元函数，顾名思义就是一个函数里不再只有一个变量，而是有多个变量，而且通常情况下，这些变量之间是没有联动关系的，说白了就是各变各的，x动不影响y也动。主要知识点包含了多元函数的极限，连续，偏导，微分（全微分，偏微分），其实都是从一元函数中汲取理论来研究多元函数。
二、正文
Ⅰ点集（在二维平面上的）：E={（x，y）}|（x，y）满足条件T}
1.点集领域
（1）领域： U（P0,δ），表示P点，|PP0|<δ，
即[（x-x0）^2+(y-y0)^2]^0.5<δ
（2）去心领域：U*o（这里特指去心领域）（P0,δ），表示P点，0<|PP0|<δ，
即0<[（x-x0）^2+(y-y0)^2]^0.5<δ,不包含P0点
2.点集
（1）关系
①内点：ョU(P)，st U（P）⊂E。 简单理解，就是一片区域的点中，点在这片区域的内部
②外点：ョU(P)，st U（P）∩E=Ø。 简单理解，就是一片区域的点中，点在这片区域的外部
③边界点：∀U（P）,st此领域既有E中的点，也有E外的点，记为∂E
④聚点：∀δ>0，st U*o（P,δ）∩E≠Ø。简单理解，就是包括所有内点，以及不作为孤立点的边界点）
⑤孤立点：ョδ>0，st U(P)∩E={P}，简单理解就是一片点外孤立一个点，呈现飞岛状，就是这种点是边界点，但不是聚点。
（2）集
①开集：由内点构成开集
②闭集：闭集=开集+边界
③连通集：点集任意两点，可以用包含于E的折线（即线的所有点都在E内）连接。
④连通的开集：（开）区域；连通的开集+边界=闭区域
（3）有界集与无界集：
ョδ>0，st E⊂U（0，δ），则E有界，且其直径为D=max{|P1P2|}，若不存在，则称E无界。通俗理解，就是以原点为圆心，画一个圆，如果有一个圆可以包含点集，那么就是有界的，如果找不到这种圆，就是不存在的
Ⅱ多元函数及其性质
1概念
（1）多元函数定义（这里主讲二元函数）：z=f（x，y），（x，y）∈D
也可写作z=f（P），P∈D
那么f（D）表示z值整体，即值域，f（D）={z|z=f（x，y），（x，y）∈D}
（2）性质：多元函数的性质与一元函数类似，比如有界无界性质，以及闭区间的最值定理，介值定理，与一元函数相似，不赘述了。
2极限：多元函数的极限是重中之重，在后面定义法求导数里有着极为重要的运用，求法也不像一元函数极限一样手段单一。
（1）定义（并不重要，大概不会出题考）
Z=f（x，y），D⊂R^2（就是坐标平面），P0（x0，y0）为D的聚点，
ョA，∀ε>0，ョδ>0，使得P（x，y）∈【U*o（P0，δ）∩D】时，有
|f（x，y）-A|<ε
则：lim f（x，y）=A
x→0
y→0
其它写法：
①Lim（P→P0）f（P）=A
②Lim f（x，y）=A
（x，y）→（x0，y0）
③Lim f（x，y）=A
|PP0|→0
（2）两种题型：求极限与证明极限不存在
①存在：如果极限存在，那么说明无论任何方向趋近该点，极限值都是相等的。而且若下述三者均存在，则三者相等，Lim f（x，y）|（x，y）→（x0，y0）
=lim（x→x0）【lim（y→y0）f】
=lim（y→y0）【lim（x→x0）f】
求极限有很多种手段，
有x，y整体换元法：
令t=xy，x，y趋于0时t也趋于0
原式=lim（t→0）【2-（t-4）^0.5】/t
用洛必达法则，求得结果为-1/4
有均值不等式放缩，利用夹逼准则，凑有界乘以无穷小：
根据均值不等式：x^2+y^2>=2xy
原式=x xy/（x^2+y^2）
|xy/（x^2+y^2）|<0.5，为有界量， x趋于0
所以原式=0
也有最常见的定一求一法：
②不存在：以不同路径趋于P时极限值不一样或者有不存在的情况。解决证明极限不存在的题目的核心要义就是“搞破坏”，就是找到两条路径，使得极限值不一样，只要找到两个不一样就是不存在。
例证：
①令x=ky
②原式=lim（x→0）（y→0）（ky2+y2）/k2y2+y2= （k+1）/k2+1
③当k取值不同时，极限值不唯一，故不存在
3.连续
（1）定义（函数值等于极限值，以及x，y趋于0时z变化为0）
①lim f（P0）=f（x0，y0）
|PP0|→0
②lim Δz=0
Δx→0，Δy→0
（2）连续函数：一元，二元的基本初等函数以及其有限四则运算，复合运算的函数连续
（3）间断点，间断线：多元函数的间断点很容易组成间断线，本质是定义域的取舍。
4.偏导
（1）概念：定义法求偏导：（以对x偏导为例）
Lim 【 f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0）】/Δx
Δx→0
=∂z/∂x |x=x0，y=y0
=Zx（x0，y0）
（2）几何意义：fx（x0，y0）为P0处切线对x轴的斜率。当然了，对什么字母偏导就是对此轴的斜率
（3）高阶：
∂/∂x（∂z/∂y）=∂^2 z/（∂y ∂x）=f yx（x，y）（先对y求偏导，再对x求偏导。本质就是先把y看成唯一的自变量，x看为参数，后面在把y看成参数，
X看成自变量的过程，本质就是多元函数的一元研究方式）
重点：如果f yx（x，y），f xy（x，y）在D区间内连续，那么两者就相等。
5.微分
（1）偏增与全增
①偏增（以x为例子）ΔZx=f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0）
②全增：ΔZ=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）
③可微：如果Δz可以表示为：AΔx+BΔy+o（ρ），ρ=[Δx^2+Δy^2]^0.5
那么则称此点可微。你看这个地方，还是Δz可以表示为Δx，Δy的线性形式，在趋于0时得到化曲为直的效果，那么既然在趋近0时可以线性表示，此点便是可微的。如果D内各点都是可微的，那么D区间就是可微区间。
（2）可微必然导致连续，而如果z=f（x，y）在U（P0）内有连续偏导，则P0处可微.下面要证明全微分公式：dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy 。这个公式细化了A,B的具体指代。
①全增转偏增：
Δz|P0=
【f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0+Δx，y0）】+【f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0）】
②拉格朗日中值：
f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0+Δx，y0）=f（x0+Δx，θΔy+y0）Δy
θ1在0到1之间
同理f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0）= f（x0+θ2Δx，y0）Δx
③P0（x0，y0）连续
Lim fy（x0+Δx，θΔy+y0）=fy（x0，y0）
Δx→0，Δy→0
④类似于泰勒展开时的佩亚诺余项
f（x0+Δx，θΔy+y0）= fy（x0，y0）+α
α=o（ρ）
同理f（x0+θ2Δx，y0）=fx（x0，y0）+β
β也为ρ的高阶无穷小
⑤Δz|P0=
fy（x0，y0）Δy+αΔy+ fx（x0，y0）Δx+βΔx
⑥根据定义，如果Δz可以表示为：AΔx+BΔy+o（ρ），ρ=[Δx^2+Δy^2]^0.5 ，那么则称此点可微。
只需要证明αΔy+βΔx为ρ的高阶无穷小即可（两个和分别除以ρ即可得证）
⑦Δx→0，Δy→0时，Δy=dy，Δx=dx，fy（x0，y0）= ∂z/ ∂y|P0
fx（x0，y0）= ∂z/ ∂x|P0
6.求导：
（1）归一求导：z=f（u，v），u=u（t），v=v（t），那么此时z其实本质就是一个关于t的一元函数，化多为一方便求导。证明下述公式很简单：就是在全微分的基础上整体除以dt
dz/dt=∂z/∂u x du/dt +∂z/∂v x dv/dt
（2）多元套多元：
Z=f（u，v），u=（x，y）， v=（x，y）
以求Zx偏导为例：
∂z/∂x=∂z∂u x ∂u∂x+∂z∂v x ∂v∂x
（3）全微分不变性
①条件：Z=f（u，v），u=（x，y）， v=（x，y）
②结论：dz=∂z/∂x x dx+∂z∂y x dy =∂z/∂u x du+∂z∂v x dv
③证明：
（4）变量相关型
①∂^2z/（∂y∂x）=【∂（∂z/∂y）】/∂x
②∂z/∂y=xcos（xy）+∂φ/∂y
③∂φ/∂y=φ1（x，x/y）dx/dy+φ2（x，x/y）d（x/y）/dy
=-φ2（x，x/y）x (y)^-2
这里φ1，φ2表示对位于第一项/第二项变量中的y求导
④∂z/∂y=xcos（xy）-φ2（x，x/y）x (y)^-2
⑤【∂（∂z/∂y）】/∂x=cos（xy）+xsin（xy）（-y）
-y^-2 φ2（x，x/y）-x/y^2 ∂φ2/∂x
⑥∂φ2/∂x=φ21（x，x/y）dx/dx+φ22（x，x/y）d（x/y）/dx
这里φ21中的1指的是对φ2这个函数的第一项中的x求导，φ22同理
⑦∴原式=cos（xy）-xysin（xy）-y^-2 φ2（x，x/y）
-x （y^-2） φ21（x，x/y）-x (y^-3) φ22（x，x/y）
⑧fx（x，x/y）与f1（x，x/y）（偏导x）的区别：
前者是对函数内所有x求偏导，后者是对第一项变量含有的x求偏导
