【高等数学第19讲】函数的凹凸性与拐点

第十九章 函数凹凸性与拐点

一、知识点

1. 函数凹凸性：
2. 定义：
   

   03:28

   
3. 几何意义：
   

   05:55

   
4. 判别法——凹凸性的充分条件：
   

   31:60

   
5. 条件：f(x)在[a,b]连续，(a,b)具有一阶、二阶导数
6. 结论：
7. 若在(a,b)内f''(x)>0，则f(x)在[a,b]上是凹的
8. 若在(a,b)内f''(x)<0，则f(x)在[a,b]上是凸的
9. 拐点：
10. 现实应用：
    

    16:38

    
11. 定义：
    

    23:26

    
12. 连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点。
13. 拐点的必要条件：
    

    30:08

    
14. 内容：
15. (x0,f(x0))为拐点=>f''(x0)=0或f''(x0)不存在
16. 注解：
    

    28:01

    
17. f''(x0)=0推不出(x0,f(x0))为拐点
18. (x0,f(x0))为拐点，f''(x0)不一定为0
19. 拐点的判别法——3个充分条件：
    

    01:14:59

    
20. 第一充分条件：
    

    01:15:30

    
21. 条件：设f(x)在x=x0处连续，在x0的某去心邻域内二阶可导，并且在该点的左右邻域内f''(x)变号
22. 结论：则点(x0,f(x0))为曲线的拐点
23. 注解：
24. 拐点和极值点的共同点：都是局部概念
25. 极值点只写横坐标，但拐点必须写完整坐标
26. 第二充分条件：
    

    01:20:27

    
27. 条件：若f(x)在x0某邻域内三阶可导，且f''(x0)=0，f'''(x0)不等于0
28. 结论：则(x0,f(x0))为拐点
29. 第三充分条件：
    

    01:27:40

    
30. 条件：如果f(x)在x0处n阶可导，且f''(x0)=f'''(x0)=…f(x0)的n-1阶导数都为0，f(x0)的n阶导数不为0，（n>-3).且n为奇数。【不要求一阶导数为0】
31. 结论：则(x0,f(x0))为拐点
32. 琴生不等式：
    

    01:44:58

    
33. f(x)在[a,b]连续，f''(x)>0，对任意x1,x2属于[a,b]，且0<λ<1，有f[λx1+(1-λ)x2]<=λf(x1)+(1-λ)f(x2)
34. 等号当且仅当x1=x2时取
35. f(x)在[a,b]连续，f''(x)>0，取xi属于[a,b]，（i=1,2,3...n). 及λi>0(i=1,2,...,n)，满足λ1+λ2+...+λn=1，有f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)<=λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)
36. 关于比值极限的一些结论：
    

    01:55:36

    
37. lim (u/v) =c且lim v =0，则lim u =0
38. lim (u/v) =c且c不等于0，若lim u=0，则lim v=0

二、证明

1. 证明凹凸性的充分条件：
   

   33:41

   
2. 证明判断拐点的第二充分条件：
   

   01:23:23

   
3. 证明判断拐点的第三充分条件：
   

   01:29:32

   
4. 勘误：这里应该是(x-x0)的3次方
   

   01:39:23

   

三、计算

1. 已知极限，求函数某点的性质：
   

   02:06:53

   
2. 已知导数之间的关系，求函数某点的性质：
   

   02:12:51

   
3. 看图像求拐点（注意画的是谁的图像，是原函数的还是一阶导的还是二阶导的）：
   

   02:23:07

   
4. 第一次做不会：
   

   02:25:06

   
5. 因为右边的两个式子都可导，则等式左边的函数可导。两个可导函数的乘积函数一定可导。
6. 式子两边对x求导，有的乘了y'有的忘乘了