紧致空间

           紧致性远不及连通性那样自然。在拓扑学的最初阶段，人们就已经注意到实直线上闭区间[a,b]具有一种特性，它对于证明极大值定理和一致连续性 定理等结论起着至关重要的作用。但对于在任意拓扑空间中如何表述这个特性。人们长期不得而知。起初，人们以为[a,b]的这一特性所指的是[a,b]中任何一个无穷子集都有极限点，并且将其尊称为紧致性。

             后来 ，数学家们才意识到这种提法并未触及问题的本质，而籍助空间的开覆盖所给出的一个较强的提法更为恰切。后面这种提法就是我们现在所讲的紧致性。它不像前者那样自然或直观，在展示其效用之前我们需要先来熟悉它。

定义   设A是空间X的一个子集族，如果A的成员之并等于X，则称A覆盖X，或者称A是X的一个覆盖。如果A的每一成员都是X的开子集，则称它为X的一个开覆盖。

定义  若X的任何一个开覆盖A，包含着一个覆盖X的有限子族，则称空间X是紧致的。

例子  任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的，因为此时X的每一个开覆盖都是有限的。

一般来说，判定一个空间是否是紧致空间并非总是轻而易举的。

我们先来证明关于子空间的一些结论。设Y是X的一个子空间，A是X的一个子集族，如果它的成员之并包含着Y，则称A覆盖Y。

引理  设Y是X的一个子空间，那么，Y是紧致的当且仅当由X的开集所组成的Y的每一个覆盖都包含着一个覆盖Y的有限子族。

定理  紧致空间的每一个闭子集都是紧致的。

定理   Hausdorff空间的每一个紧致子空间都是闭的。

引理  设Y是一个Hausdorff空间X的一个紧致子空间，X0不属于Y，则存在X中的两个无交的开集U和V，它们分别包含X0和Y。

定理  紧致空间的连续像是紧致的。

定理 设 f ；X→Y是一个连续的一一映射。若X是紧致的，并且Y是Hausdorff的，则f是一个同胚。

定理    有限多个紧致空间的积是紧致的。