就 一网友要求 即 棱台体积 微积分证法 证明如下 供诸君参考
据
祖暅原理
设
棱台
与
等上下底面面积与高
圆台
上下底面面积与高
分别为
S1，S2，h
圆台
上下底面半径
分别为
r1，r2
所在圆锥母线
与
对称轴
所成夹角为β
所在圆锥母线
与
所补圆锥母线
分别为
l2，l1
有
r1=l1sinβ
r2=l2sinβ
h=(l2-l1)cosβ
设
圆锥母线为l
有
V圆锥
=
∭dV
=
∫(0，2π）dφ
∫(0，β）dθ
∫(0，lcosβ/cosθ)ρ²sinθdρ
=
∫(0，2π）dφ
∫(0，β）dθ
(1/3ρ³sinθ)Ⅰ(0，lcosβ/cosθ)
=
∫(0，2π）dφ
∫(0，β）(l³cos³β/(3cos³θ)sinθdθ
=
∫(0，2π）dφ
∫(1，cosβ)(-l³cos³β/(3cos³θ))dcosθ
=
∫(0，2π）dφ
(l³cos³β/(6cos²θ)Ⅰ(1，cosβ)
=
∫(0，2π）(l³cosβ/6-l³cos³β/6)dφ
=
∫(0，2π）(l³sin²βcosβ/6)dφ
=
πl³sin²βcosβ/3
即
V棱台
=
V圆台
=
πsin²βcosβ(l2³-l1³)/3
=
πsin²β(l1²+l1l2+l2²)cosβ(l2-l1)/3
=
π(r1²+r1r2+r2²)h/3
=
(S1+√(S1S2)+S2)h/3
得证
ps.
棱台体积
极限证法
详见
答疑.
=
cotαt+cosα/(2asin²α)
±√(4asinαt+cos²α)/(2asin²α)
