已知均值和标准误，做bootstrap统计分析【错题本】

bootstrap分析的目的，应该是假定我们当前获得的数据存在随机取样的误差，推测真实值所在的位置后比较真实值和指定值是否有差异——因为我们不知道真实值，所以只能从手头数据得到真实值的概率分布、然后通过比较真实值的概率分布与指定值的包含关系，确定真实值在多大概率上与指定值有差异。 已知n个人两个条件的平均数据x_bar_i和**标准误差sem_i** （i = 1, 2 为条件编号），想通过bootstrap方法判断显著性差异，即针对每个条件、在均值加减标准差的**随机分布**里（这里假定随机数据服从高斯分布），有放回随机取样数次（比如10000），每次都计算两个条件的差值，最后得到两个条件差值的分布，如果分布的95%置信区间（也就是从分布中寻找累积概率在2.5%-97.5%的数据范围）包含零，则两个条件没有差异，如果不包含零，则在p = 5%的犯错概率上有显著差异。 遇到了一个问题：这个**随机分布**的标准差，应该取sem_i还是n个人得到的标准差sd_i = sem_i*(n)^2呢？ 错误答案：我一开始想，我们感兴趣的是真实值，真实值的分布宽度（标准差SD_i）可以用样本的分布宽度（sd_i）来估计，所以在做bootstrap随机取样的时候，应该使用样本的分布宽度来替代真实值的分布宽度，所以应该选取sd_i。 然而，这个答案错误的地方是：手头已有n个人的平均数据x_bar时，真实值服从的分布不是N（x_bar，sd_i^2），而是N(x_bar, sem_i^2)。 解释： 这里有SEM（standard error of the mean）的数学推导， en.wikipedia.org/wiki/Standard_error#:~:text=for%20further%20discussion.-,Derivation,and%20some%20simple%20properties%20thereof.

推导结论：从某个正态分布N (mu, sigma^2)取样n个点的话，这n个点的均值x_bar的分布是N (mu, sigma^2/n)； SEM是均值x_bar的分布的标准差（standard deviation），也就是sigma/sqrt(n) 所以已知n个人的数据均值为x，SEM为sem的话，x则视为从均值分布中取出的一个点；从x推断均值分布的中心位置应该服从分布N（x, sem^2）；所以在做bootstrap的时候，要从N（x, sem_i^2）里头取样。 对应我自己的笔记微博：https://weibo.com/5896214783/Ni1x72nPC