√2 是无理数，发现并坚持这个结果的希帕索斯付出生命代价

欧几里得112、√2 是无理数，发现并坚持这个结果的希帕索斯付出生命代价

 

2015-02-07，寂寞de小老鼠上传名为《证明根号2是无理数的八种方法》的文章。

…无、理、无理数：见《欧几里得27》…

文章内容：怎样证明√2是一个无理数

√2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价（见《欧几里得17、18》）——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此。

风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立。在此意义上讲，√2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证。

…实、数、实数：见《欧几里得37》…

…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

…意、义、意义：见《欧几里得26》…

…例、证、例证：见《欧几里得57》…

…真、理、真理：见《欧几里得43》…

 

换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味。我准备从不同的角度来证明√2是一个无理数，从而体会这一点。

…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

 

证法1：尾数证明法

假设√2是一个有理数，即√2可以表示为一个分数的形式√2=a/b。其中（a，b）=1，a与b都是正整数。则a2=2b2（a的平方=2×b的平方）。

…形、式、形式：见《欧几里得13》…

 

（a，b）=1什么意思？？——网友提问

2019-05-18，小小芝麻大大梦：（a，b）=1，即a与b最大的公因数是1。

在数论中，记法（a，b）表示整数a与整数b的最大公约数（greatest common divisor，也译作最大公因数），即所有能同时整除a与b的正整数中最大的那一个。

比如，能同时整除18和24的正整数一共有四个：1，2，3，6。其中 6 最大，那么（18， 24）=6。

…数、论、数论：见《欧几里得15》…

 

（a，b）=1，即a与b最大的公因数是1（所有比1大的正整数都不能同时整除a和b），也就是说，a与b互为质数的意思。

…质数：大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数…

…互为质数一般指互质数…

…互质数：公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。

 

互质数具有以下定理：

（1）公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。举例：2和3，公因数只有1，为互质数；

（2）多个数的若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数；

（3）两个不同的质数，为互质数；

（4）1和任何自然数互质。两个不同的质数互质。

（5）任何相邻的两个数互质…

（…定、理、定理：见《欧几里得2》…）

由于完全平方数b2（b的平方）的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此2×b2（2×b的平方）的尾数只能是0、2、8中的一个。

 

…完全平方数：完全平方指用一个整数乘以自己，例如1×1，2×2，3×3等，依此类推。

若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。

完全平方数是非负数。

 

如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。

零也可称为完全平方数。

完全平方数性质如下：

（1）个位数字只能是 0， 1，4，5，6，9 ；

（2）任何偶数的平方一定能被 4 整除…

（…性、质、性质：见《欧几里得37》…）

 

 

因为a2=2b2（a的平方=2×b的平方），所以a2（a的平方）与2b2（2×b的平方）的尾数都是0。

…a2（a的平方）的尾数为0、1、4、5、6、9中的一个，2b2（2×b的平方）的尾数为0、2、8中的一个，a2=2b2（a的平方=2×b的平方）。满足上述条件的尾数只有0。因此，a2（a的平方）与2b2（2×b的平方）的尾数都是0…

 

因此，b2（b的平方）的尾数只能是0或5。

…2b2的尾数是0，b2（b的平方）的尾数为0、1、4、5、6、9中的一个。在0、1、4、5、6、9这些尾数中，只有0、5乘以2后，得到的新数的尾数是0。因此，b2（b的平方）的尾数是0或5…

 

因此，a与b有公因数5。

 

…∵ a2（a的平方）的尾数是0，尾数是0的正整数是5的倍数

∴ a2（a的平方）是5的倍数（此处运用的证明方法是三段论）

∴ a2（a的平方）含有因数5

 

∵ a2（a的平方）=a×a，a×a含有因数5

∴ a含有因数5

 

同理可证b含有因数5。

 

∴ a与b有公因数5

 

a与b有公因数5，这与（a，b）=1矛盾！因此√2是无理数。

 

这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数。

…根：见《欧几里得57》…

…平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根，也叫做a的二次方根。例如：5×5=25，5就是25的平方根…

 

““幂”原指盖东西布巾，数学中“幂”是乘方的结果，而乘方的表示，是通过在一个数字上加上标的形式来实现的，就像在一个数上“盖上了一头巾”。

 

请看下集《欧几里得113、希帕索斯葬身海底的原因》”

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