看不懂的高等代数（一）

乐，没想到竟然会同时开高等代数和常微分方程的坑。（）

主要是因为写常微分方程写到一半，发现开始涉及到一些代数学的基本概念。虽然我们在数学分析当中也已经提到了一些代数学的内容（比如说，矩阵和行列式的概念等等），但是我们也只是借用一些形式，并没有利用这些概念的性质，以及更深入的一些讨论（包括线性相关性，我们后面会介绍到）。所以，我们之前也没有同时开坑。

不过现在，类似于线性相关这样的概念与性质在常微分方程当中开始涉及到了一些，正巧常微分方程的基础基本内容已经介绍完了（常微分方程的概念以及初等积分法），所以相当于基础已经打下了，那么我们也可以暂时将注意力集中在另一部分内容了~

高等代数是真的痛苦，主要是无论是证明还是计算，高等代数的文字叙述占比相当的大，很多时候你都会看到，高等代数里面的证明都是一大段文字。当然也有一些数学表达式证明，不过有相当一部分却是些很简单的小证明。所以，如何理解证明与计算，就成了代数学学习的重难点了。

当然，也可能是我自身实力有限，所以我所能做的介绍可能相较于其他两个部分（数学分析和常微分方程）要少一些，尽可能从我能理解的角度来介绍一些吧，可能也不会特别深入，力求提供一些好的理解。

因为水平有限，我也不太能够分辨出哪一本教材相对比较好理解，相对内容较好较全，所以我就选择了普遍评价还不错的丘维声老师的《高等代数》作为我们的参考教材。看了一些，感觉还不错，整个内容体系还比较完整，而且顺序也不至于很乱很难啃。

OK，那我们就开始吧！

Chapter  One  线性方程组

1.1  解线性方程组的矩阵消元法

由于在数学分析部分我们已经使用过一些矩阵的基本概念与形式，这里我们就不会再多赘述。关于矩阵的概念，我们这里只说明，实际上矩阵就是一张m×n维的方形数表。矩阵，可能是少有的利用外形来定义的数学概念。

那么，矩阵又与线性方程组的求解有什么关系呢？

我们先来看一个实际应用的例子。

例：

在大学生活中，我们会参与各种各样的学习、生活、工作和娱乐活动。我们一般会将自己的时间合理分配给这些内容，使得自己既能够学到东西、得到锻炼，又能够放松身心、愉悦自我。

一位普通的大一新生小李，面对未来的大学四年时光，在家人的建议以及经过自己的深思熟虑之后，决定给自己的时间分配设定一个合理的安排。他把自己的时间记为1，每一部分内容所需的时间分别记为：

根据以往的学长学姐们的经验，从经验积累的角度来看，多学习学习课程内容的收获是最大的，适当的参与一些学生工作也对自己有一些好处。而如果选择娱乐，不仅没办法使得自己积累适应工作与社会的经验，反而有可能因为占据了学习和工作的时间，同时消磨自己的意志，从而使得这一部分时间最终竟然产生了负收益。

但是，他的家人是更看重小李的身体和心情的。他们认为，学习和工作带来的虽然是适应未来的经验，但是过度工作和学习同时也会损伤身体。而且，长时间得不到放松，可能心情也会变差，从而对身体的损害更加严重。这是得不偿失的。

综合这些过来人的经验，小李认为，每投入一分时间在学习上，自己就能增长一分的知识与收获；投入在工作上的时间也能换来至少一半的收益；娱乐可能会一定程度的使自己懈怠，因此可能带来三分的负收益。

但是，学习和工作无疑是在消耗自己的身体。从这点来看，学习会带来半分的消耗，而工作会有六分的消耗。娱乐活动作为放松，可以起到调节生活的作用，因此此时反而会带来1.2倍的收益。

小李想，大学四年度过以后，至少不能让自己的身体状况变得太坏，得保持80%的水准；而自己要在大学四年里学到一些东西，收益在1.5左右就可以接受。

于是，他就得到了下面这个方程组：

这样的方程组是由一些未知元素通过线性运算组合成的方程组合出来的，因此称为线性方程组。

接下来的问题就是这个方程有没有解，以及如何去解的问题了。

我们在中学阶段学习过一次多元方程组的基本解法，一个是代入消元法。这个方法会是我们很多时候会愿意去选择的方法，因为我们总是希望未知元素的个数要少一点。不过，对于元数较多的方程组，这个方法并不是很好用，因为很多时候代入消元的过程并不会一帆风顺。比如说我们问题当中的这个方程，无论怎么代入消元，我们总是会留下三个元素。这使得我们很难直接找到一个好的解题过程。

另一种方法，就是所谓的Gauss消去法。Gauss消去法的基本原则就是利用方程组内的各个方程之间的线性运算，来不断地减少未知元素的个数。

由于未知元素都是固定的，我们可以形式上简化方程组的表达方式。利用矩阵很容易表达成：

那么，所谓Gauss消去法，实际上就是矩阵的各行之间进行直接的加减运算。运算对象只是方程的系数，而未知元素形式上被忽略掉了。

所以，现在我们就将线性方程组的解法问题转化为了矩阵的行元素之间的运算以及矩阵的表达形式的问题。这就表达出了线性方程组和矩阵之间是有一定的联系的。

那么，我们如何利用矩阵的相关内容，来解决线性方程组的解的存在及求解的问题？

利用Gauss消去法，我们就知道，我们实际上就是需要通过对行之间进行运算，以达到将方程组变为：

这样的形式。

对应的矩阵形式为：

于是，我们就得到了解：

基于我们直观的认识，我们知道，方程组中方程的个数少于变量个数的时候，方程组基本上是有无穷多组解的；而当方程组中方程个数与变量个数相等的时候，方程组可能有唯一解，可能有无穷多组解，也可能无解；当方程组中方程个数多于变量个数的时候，方程组的解更是有以上三种状况出现。

所以，我们的例子当中的问题是有无穷多组解的。这也就是说，我们有很多安排自己时间的方式，只要合理就好~既要兼顾学业与工作，又要照顾好自己的身体呀~

我为了能够用矩阵的语言方便地叙述解线性方程的各种结论，我们需要定义一些与线性方程组相关的矩阵概念：

（1）线性方程组：

的任何一个方程的左侧都是未知变量的线性组合。略去变量，我们将组合系数保持原本的位置不动，抽离出一张数表，得到：

称为该方程组的系数矩阵。

（2）将线性方程组右侧的数也置入系数矩阵当中，得到了一个扩展后的矩阵，即：

称为该方程组的增广矩阵。

（3）我们对方程组所做的Gauss消去法的操作，对应到矩阵上，就说对矩阵做了初等行变换。初等行变换包括：对调两行的位置，将某行乘以某一常数以及将某行的某一倍数加到另一个行上。

（4）我们利用矩阵的初等行变换，可以将矩阵化为这样的形式：

这样形式的矩阵有一些特点：

①元素全为0（零行）在下方；（如果有元素不全为0的非零行，那么在矩阵中非零行的位置一定在零行的上面。）

②非零行的第一个不为0的元素所在列的序数随着行的序数的增大而逐渐增大。（第一个不为0的元素称为该行的主元。）

满足上述条件的矩阵我们称之为行阶梯形矩阵。

（5）特别地，有一类特殊的阶梯形矩阵，其每行的主元都是1，且主元所在列的其他元素都为0。这样的阶梯形矩阵称为简化行阶梯形矩阵。

有关初等行变换，我们有：

任何非零矩阵（矩阵中的元素不全为0）都能通过初等行变换转化为阶梯形矩阵；更一般地，可以被转化为简化阶梯形矩阵。

（命题1）

于是，线性方程组的问题，就变成了如下增广矩阵转化成的简化行阶梯形矩阵的具体表现形式的问题。

显然，我们有：

（1）如果矩阵中某一行的主元位于最后一列，则方程组无解；

（2）如果矩阵中有至少一个非零行，则方程组可以降低维数（即方程组方程的个数）；

（3）如果m＜n，则我们通过重新标记未知变量的序数，可以得到新的简化行阶梯形矩阵如下：

则方程组的解应该表达为：

可以看到，随着对等号右侧的变量的赋值不同，得到的解也不会完全一致。因此，此时，方程的解并不唯一；

（4）如果m≥n，则要看经过初等行变换之后，归为上述三种情况中的哪一种了。

最后以一道应用题为结尾吧！

应用：

一个投资者将10万元投给三家企业甲，乙和丙，所得的利润率分别为12%，15%和22%。如果他想得到2万元的利润：

（1）如果投给乙的钱是投给甲的钱的2倍，则应当如何分配投资金额？

（2）可不可以使得投给丙的钱等于投给甲和乙的钱的总和？

みんながすべてマスターすることができることを望み ます！