《几何原本》命题4.11【夸克欧氏几何】

命题4.11：

可作一已知圆的内接正五边形

已知：线段AB，点C在AB上

求：作

已知：圆ABCDE

求：作圆ABCDE的内接正五边形

解：

作等腰△FGH，使∠G=∠H=2∠F

（命题4.10）

作圆ABCDE的内接△ACD，使其与△FGH等角

（命题4.2）

作CE平分∠ACD，与圆ABCDE交点记为点E

（命题1.9）

作DB平分∠ADC，与圆ABCDE交点记为点B

（命题1.9）

连接AB，BC，DE

（公设1.1）

求证：五边形ABCDE等边且等角

证：

∵∠G=∠H=2∠F，△ACD与△FGH等角

（已知）

∴∠ACD=∠ADC=2∠CAD

（公理1.1）

∵∠ACD=2∠ADB=2∠BDC，∠ADC=2∠ACE=2∠DCE

（已知）

∴∠CAD=∠ADB=∠BDC=∠ACE=∠DCE

（公理1.1）

∴◠AB=◠BC=◠CD=◠DE=◠AE

（命题3.26）

∴AB=BC=CD=DE=AE

（命题3.29）

∵◠AB=◠DE

（已证）

∴◠ABD=◠BDE

（公理1.2）

∴∠BAE=∠AED

（命题3.27）

同理可证，五边形ABCDE其余的角都相等

证毕

此命题将在命题4.12＆4.16中被使用

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