实变函数漫谈(14)可测函数的收敛2

2023-06-30 11:33 作者:南海之声sonnet耳放 0人读过 | 我要投稿

刚才已经看到，几乎处处收敛在测度论的意义下等于就是处处。下面再介绍一个依测度收敛的概念，在概率论中就是依概率收敛，也就是 $E(f_n-f%3E%5Cvarepsilon%20)%E8%B6%8B%E8%BF%91%E4%BA%8E0$ 。这两种收敛是完全不一样的，几乎处处收敛不一定依测度收敛，因为定义域可以取无穷测度的集合；而依测度收敛也不一定几乎处处收敛，因为不收敛的那个点是可以任意跑动的，会导致处处不收敛。

$F.Reisz%3A%20%E5%A6%82%E6%9E%9CE%E4%B8%8A%E5%8F%AF%E6%B5%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%88%97%E4%BE%9D%E6%B5%8B%E5%BA%A6%E6%94%B6%E6%95%9B%E4%BA%8Ef%2C%E5%BF%85%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AD%90%E5%88%97%E5%9C%A8E%E4%B8%8A%E5%A4%84%E5%A4%84%E6%94%B6%E6%95%9B%E4%BA%8Ef$

证明的关键是构造一个子列 $f_%7Bn_v%7D%EF%BC%8Cv%3D1%2C2%2C3....$ ,和一个集合 $E%5E%5Cprime$ ，因为 $f_n$ 本身就是依测度收敛的，所以存在 $n_v%E4%BD%BF%E5%BE%97%5Cmu%20%5Clbrace%20E(f_%7Bn_v%7D-f%3E%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5Ev%7D)%5Crbrace%20%5Cleq%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5Ev%7D$ ，记 $E_v%3DE(f_%7Bn_v%7D-f)%5Cleq%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5Ev%7D$ ,取 $F_k%3D%5Cbigcap_%7Bv%3Dk%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20E_v$ ，再取 $F%3D%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20F_k$ ,证 $E-F%E6%98%AF%E4%B8%80%E4%B8%AA%E9%9B%B6%E6%B5%8B%E9%9B%86$

其实 $F%E6%98%AFE_v%E7%9A%84%E4%B8%8B%E6%9E%81%E9%99%90%EF%BC%8C%E9%82%A3%E4%B9%88E-F%E5%85%B6%E5%AE%9E%E5%B0%B1%E6%98%AFE-E_v%E7%9A%84%E4%B8%8A%E6%9E%81%E9%99%90$ 。

所以要证明 $E-E_v$ 的上极限测度为零，只需要注意到 $%5Cmu(E-E_v)%5Cleq%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5Ev%7D$

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