凸函数的一阶充要条件：

假设定义在\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}上的函数f可微（即对于所有x\in \mathbb{D}(f)，梯度\triangledown f(x)均存在）。则函数f是凸函数当且仅当函数定义域\mathbb{D}(f)是一个凸集，且对于所有x,y\in \mathbb{D}(f)均满足：

f(y) \geq f(x)+\triangledown f(x)^T(y-x)

一阶充要条件从几何意义上讲，即定义域内所有函数值都大于等于该点的一阶近似