欢迎光临散文网 会员登陆 & 注册

[Linear Algebra] Rotation Matrix

2021-10-11 20:12 作者:AoiSTZ23  | 我要投稿

By: Tao Steven Zheng (郑涛)

【Problem】

Determine the eigenvalues and eigenvectors of the rotation matrix

%5Cmathbf%7BA%7D%20%3D%0A%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%5Ccos%5Ctheta%20%26%20-%5Csin%5Ctheta%20%5C%5C%0A%20%5Csin%5Ctheta%20%26%20%5Ccos%5Ctheta%20%5C%5C%0A%20%5Cend%7Bbmatrix%7D

【Solution】

First obtain the characteristic equation.

%5Cdet(A%20-%20%5Clambda%20I)%20%3D%200

%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%0A%20%5Ccos%5Ctheta%20-%20%5Clambda%20%26%20-%5Csin%5Ctheta%20%5C%5C%0A%20%5Csin%5Ctheta%20%26%20%5Ccos%5Ctheta%20-%20%5Clambda%20%5C%5C%0A%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%3D%200

(%5Ccos%20%5Ctheta%20-%20%5Clambda)(%5Ccos%20%5Ctheta%20-%20%5Clambda)-(-%5Csin%20%5Ctheta)(%5Csin%20%5Ctheta)%20%3D%200%20

%20%7B%5Clambda%7D%5E%7B2%7D%20-%202%5Clambda%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%2B%201%20%3D%200

Using the quadratic formula to find the eigenvalues:

%5Clambda%20%3D%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Cpm%20i%20%5Csin%20%5Ctheta%20%3D%20%7Be%7D%5E%7B%5Cpm%20i%5Ctheta%7D%20

To solve for the eigenvectors

%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%5Ccos%5Ctheta%20-%20%5Clambda%20%26%20-%5Csin%5Ctheta%20%5C%5C%0A%20%5Csin%5Ctheta%20%26%20%5Ccos%5Ctheta%20-%20%5Clambda%20%5C%5C%0A%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%20%0A%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x_1%20%5C%5C%20x_2%0A%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%200%20%5C%5C%200%0A%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20


For %5Clambda%20%3D%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%2B%20i%20%5Csin%20%5Ctheta%20%3D%20%7Be%7D%5E%7Bi%5Ctheta%7D%20, we find x_2%20%3D%20-ix_1.

So
%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x_1%20%5C%5C%20x_2%0A%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%5C%5C%20-i%0A%20%5Cend%7Bbmatrix%7D


For %5Clambda%20%3D%20%5Ccos%20%5Ctheta%20-%20i%20%5Csin%20%5Ctheta%20%3D%20%7Be%7D%5E%7B-i%5Ctheta%7D%20, we find x_2%20%3D%20ix_1.

So
%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x_1%20%5C%5C%20x_2%0A%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%5C%5C%20i%0A%20%5Cend%7Bbmatrix%7D


[Linear Algebra] Rotation Matrix的评论 (共 条)

分享到微博请遵守国家法律