【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章有理数

§1-1算术里有关数的运算知识的复习

【01】读者们都学过了算术。我们现在要开始学习代数了。代数和算术，虽然是两门学科，但它们却是紧密地联系着的。算术里有许多内容，都是在学习代数时必须用到而且经常要用到的，因此，我们在开始学习代数的时候，要先来复习一下算术里学过的一些有关数的运算的知识。

1、算术里学过的数

【02】算术里学过哪一些数呢？我们先来看一看下面这些数：

        (1) 1，2，3，5，16，30，132，478；

        (2) 0；

        (3) 3.5，0.326，0.0037，364.24；

        (4) 

【03】你认识这些数吗？能够说出这四类数的名称吗？

【04】在第一类数里，1，2，3，5，16 等，它们都是在我们数个数时按照 1，2，3，4，5，6，…这样的次序一个一个顺次数下去时，总会数到的.这样的数叫做自然数。自然数的个数是无限多的。任何一个自然数总还有比它更大的自然数。

山笺||  高等数学中的『阿基米德公理』

        小伙伴莫要小看上文的最后一句话“任何一个自然数总还有比它更大的自然数。”这句话便是高等数学第一堂课中“ε-N”证明法的理论基础，若没有这个自然数公理，“ε-N”证明法就很难成立。而相较于这条自然数公理，还有一条适用性更强的公理——“阿基米德公理”——“任何一个正数总还有比它更大的自然数。”

        “阿基米德公理”是将条件适用范围从自然数推广到实数域，因此虽然工科高数不讲阿基米德公理，但我认为还是有必要简单介绍一下，也可让小伙伴稍微适应一下“ε-N”这种证明语言。

        【阿基米德公理】对于∀c＞0，必∃自然数n＞c  。〖山注||  此处符号∀是Arbitrary的首字母反写，意思是“任意”；符号∃是Exist的首字母反写，意思是“存在”。这个公理翻译成文字版就是：对于任意一个正数c，必存在大于c的自然数。〗

        阿基米德公理的原型是阿基米德提出的一个公理命题：“若在直线上给定任意线段A及B，则A重复相加若干次后，其和总可以大于B”

        然后将“线段长度”抽象为“正数”，设A的长度是正数a，B的长度是正数b，而若干次必是自然数次，设其值为自然数n。则此公理就可抽象为“必存在自然数n，使a·n＞b”，定义除法后可进一步整理为“必存在自然数n，使n＞b/a”，令c=a/b，因为a、b均为正数，所以c＞0，则这个原型命题就抽象成了我们看到的阿基米德公理（对于∀c＞0，必∃自然数n＞c  ）。

        小伙伴是不是感觉这个公理有点莫名其妙，但在学高等数学前，建议仔细琢磨一下（详情可阅读菲赫金哥尔茨《微积分学教程》的绪论）。因为这个如果适应不了，感觉莫名其妙，那在学习高等数学第一章的“ε-N”证明法时就可能难摸着北了。

【05】第二类数只有一个，就是 0，读做“零”，它不是自然数〖山注||  注意，现在的自然数定义中包括“零”！我小学五年级小升初时定义自然数还不包括〇，到初一时教材就改为包括〇了。据说这是美苏在自然数问题上分歧的延续，我们原采用的是苏式观点，但苏亡后，美帝会盟诸侯，霸图天下，至此礼乐征伐自美帝出，故关于自然数定义我们也改用了美式观点。〗。

【06】第一类和第二类数都叫做整数，也就是说，自然数和零都叫做整数。

【07】第三类数 3.5，0.326，0.0037 等叫做小数，小数里的圆点叫做小数点。

【08】第四类数  等叫做分数。各个分数中间的一划叫做分数线，分数线上面的这个数叫做分子，分数线下面的这个数叫做分母。

【09】在算术里所学过的小数，实际上也是分数的一种写法。例如，3.5 就是 ，0.326 就是 ，0.0037 就是 ，364.24 就是   。所以我们说：算术里所学过的数，就是

整数和分数。

2、算术里学过的运算

(1)四种基本运算：

【10】我们在算术里学过哪几种运算呢？我们学过四种运算，就是加法、减法、乘法和除法。这四种运算，总起来叫做四则运算。

【11】加法是从两个加数求它们的和的运算，如 3＋5＝8，那就是：加数甲＋加数乙＝和。

【12】任意两个数，总可以相加，求出它们的和来。

【13】减法是已知两个加数的和与其中一个加数求另为个加数的运算。已知的和叫做被减数，已知的一个加数叫做减数，所求的另一个加数叫做差，如 8－5＝3，那就是：被减数－减数＝差。

【14】在算术里，减法不是一定可以进行的。只有当减数小于被减数或者等于被减数的时候，减法才能够进行。如果减数大于被减数，如 3－4，在算术里，这个减法就不能做。

【15】乘法是从两个数求它们的积的运算，这两个数一个叫做被乘数，另一个叫做乘数，也可以把这两个数都叫做因数。如 8×5＝40，这里是：被乘数×乘数＝积；或  因数甲×因数乙＝积。

【16】任意两个数，总可以相乘，求出它们的积来。

【17】除法是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数的运算，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的另一个因数叫做商，如 40÷5＝8，那就是：被除数÷除数＝商。

【18】当我们只学到整数的时候，除法不一定可以除尽，例如 16÷3 就不能除尽，只能得到部分的商 5，同时得余数 1。但当我们学习了分数以后，那末只要除数不是零，除法就总可以进行，例如   。

【19】零不能作为除数，因为拿零作为除数是没有意义的。

(2)逆运算关系：

【20】减法是加法的逆运算，减法里的被减数，就是加法里的和，减法里的减数，就是加法里的一个加数，而减法里的差，就是加法里的另一个加数。它们之间的关系如下：

【21】例如 8＋6＝13，即得 13－6＝8，或 13－8＝5  。

【22】除法是乘法的逆运算，除法里的被除数，就是乘法里的积，除法里的除数，就是乘法里的一个因数，而除法里的商，就是乘法里的另一个因数。它们之间的关系如下：

【23】例如 8×5＝40，即得 40÷5＝8，或 40÷8＝5  。

3、算术里学过的运算符号和关系符号

【24】在算术里，我们学过下面这三类符号：

(1)有关运算种类的符号：

        加号    ＋    读做“加”，或“加上”；

        减号    －    读做“减”，或“减去”；

        乘号     ×     读做“乘以”；

        除号     ÷     读做“除以”；

【注】除号的读法要特别注意，有人读做“除”，那是不确当的。如 16÷2 应该读做“十六除以二”，不要读做“十六除二”。我们要养成正确读出符号的习惯。

【25】分数里把分子分母隔开的这条“分数线”，实际上也是一个除号，例如，实际上就是11÷12  。

(2)括号：

【26】括号是一种关于运算顺序的符号。括号有小括号(  )、中括号[  ]、大括号{  }。

【注】有时还应用“括线”，例如，小括号里边  的上面的一条线，就是括线，表示 5－4 要先进行运算。

【27】在分数里的分数线，既有除号的意义，有时也带有括号的意义，例如，25－4 与 8＋6 都要先做，然后再把分子除以分母，这里的分数线就既有除号的意义，又有括号的意义。在繁分数里，我们还要依照分数线的长短来确定运算次序的先后，例如就是 32÷(4÷2)＝32÷2＝16，而就是 (32÷4)÷2＝8÷2＝4  。这里两条分数线的长短，就相当于括号的大小的区别了。

(3)数的大小关系的符号：

【28】在算术里，我们学习过三种关于数的大小关系的符号：

        等    号    ＝    读做“等于”    例如 3＋5＝8，

        大于号     ＞    读做“大于”    例如 5＞2，

        小于号     ＜    读做“小于”    例如 1＜4  。

4、算术里学过的运算顺序的规定

【29】在一个包含几个运算的式子里，对运算的先后次序，有下面这些规定：

        (1)在一个没有括号的算式里，如果只含有加减运算（叫做第一级运算），或者只含有乘除运算（叫做第二级运算），应该从左往右依次运算。

        (2)在一个没有括号的算式里，如果既含有第一级运算，也含有第二级运算，应该先做第二级运算（乘、除），后做第一级运算（加、减）。简单说起来，就叫做“先乘除、后加减”。

        (3)一个算式里有括号的，括号里面的运算要先做。如果有几种括号，先算最里层的小括号里面的运算，再算较外面的中括号里面的运算，最后才算最外面的大括号里面的运算。如果括号里面也有几种运算，同样按照上面(1)、(2)两条规定的次序进行演算。

例1.计算：16＋5－8＋100－113  。

【分析】这里只有第一级运算——加、减运算，按照规定(1)，运算从左到右一步一步进行。

【解】16＋5－8＋100－113＝21－8＋100－113＝13＋100－113＝113－113＝0  。

例2.计算：18÷3×2×4  。

【分析】这里只有第二级运算，按照规定(1)，运算从左到右一步一步进行。

【解】18÷3×2×4＝6×2×4＝12×4＝48  。

例3.计算：540÷18＋6×64－40÷2  。

【分析】这里既有第一级运算，又有第二级运算，按照规定(2)，先做乘除，后做加减。

【解】1540÷18＋5×64－40÷2＝30＋320－20＝350－20＝330  。

例4.计算：8－{7－[6－(5－1)－2]－1}  。

【分析】这里有三层括号，先做小括号里面的运算，再做中括号里面的运算，再做大括号里面的运算，再做括号外面的运算。每一次把括号内的式子算出结果以后，这个括号就失去作用，可以不必再写了。

【解】8－{7－[6－(5－1)－2]－1}＝8－{7－[6－4－2]－1}＝8－{7－0－1}＝8－6＝2  。

例5.计算：{[(24－16)×3－4×6]÷(36÷3－2×5)＋40}÷4  。

【解】

{[(24－16)×3－4×6]÷(36÷3－2×5)＋40}÷4

＝{[8×3－4×6]÷(12－10)＋40÷4

＝{[24－24]÷2＋40}÷4＝{0÷2＋40}÷4

＝{0＋40}÷4＝40÷4＝10  。

例6.计算：  。

【解】

【注意】分数的加减法里，如原有分母不相同，必须进行通分，在乘除运算中，各个带分数要化成假分数，并须随时注意约分，化成最简分数。

例7.计算：  。

【分析】这是繁分数，中间的分数线是兼有括号的作用，所以 3＋1/7 的加法与 5－1/3 的减法都要先做。

【解】  。

例8.计算：  。

【分析】这个算式里既有分数又有个数，因为 1/2 和 1/8 都可以化做有限小数，所以这个题目可以用两种方法来计算：(1)把小数先化成分数后再算；(2)把分数先化成小数后再算。

【解1】化成分数做：

【解2】化成小数做：

例9.计算：  。

【分析】这里 1/3 不能化成有限小数，所以要先把小数化成分数后再算。

【解】

习题1-1

回答下列问题（1~7）：

1、写出三个自然数来。写出最小的自然数来。有没有最大的自然数？

2、在算术里，“整数”和“自然数”这两个名称有没有区别？有什么区别？

3、写出四个分数来，其中两个是真分数，两个是假分数。3/3 是真分数还是假分数？

4、写出三个繁分数来，其中一个的分母是整数，分子是分数；另一个的分母是分数，分子是整数；还有一个的分母分子都是分数。再把它们化成普通分数。

5、写出三个小数来，并把它们化成分数。

6、在算术里，加法、乘法、减法、除法是不是总可以进行？那些运算在怎样的情况下不能进行？

7、零可以做除数吗？零可以做被除数吗？

计算（8~20）：

8、328＋672÷(72÷9×4)  。【349】

9、(56＋44)×0÷1÷1＋0÷100＋9  。【10】

10、1＋2×{2＋3×[3＋4×(4＋5×6)×7÷8]－9}  。【719】

11、  。【50】

12、  。【1】

13、3.6＋43.05＋1.8－13.08－4.87  。【30.5】

14、7.5×15.2÷(38×2.5×0.06)  。【20】

15、(3.54－2.54×0.7)×1.2  。【2.1144】

16、  。【0.04】

17、0.3×0.2－1/7×0.15  。【】

18、  。【】

19、  。【】

20、  。【1】