不负责任想想小波变换实现海面Shader的思路
最近ShaderToy上有一个实时GI让人眼前一亮
https://www.shadertoy.com/view/ctSGWm
叫Àtrous Wavelet Denoising
我对这个实现并不是很感兴趣，只不过这个画面（主要是两个金属管）特别有真实感。
其中有一个词Wavelet。以前瞎研究的时候经常碰到它，于是想去搞搞清楚。
以前的印象中说，
1.对于一些特殊应用场景，傅里叶变换的效果不是特别满意。
2.于是有了滑动窗口傅里叶变换。比如如果我们提前知道信号有一些特性，比如分3部分周期各相迥异，就可以分块变换。当然变体有很多，叫法也不一样。
3.但是滑动窗口傅里叶变换，显然需要我们手动赋予一些参数，窗口怎么设置...效果不一定好。
4.于是直到最近（1974），才开发出一种方法叫Wavelet Transform（小波变换），貌似解决了这方面的问题。
5.也就是说，小波变换大体是傅里叶变换的plus utilmate pro max版（当然具体场景肯定具体应用，不能说完全代替）。
今天找到了一个视频介绍得特别清楚，https://www.youtube.com/watch?v=jnxqHcObNK4。
让我影响深刻的有几点：
深刻点一，小波变换的基函数（以下简称base）就是一个设计好的“小波函数”，可以有不同的形状：
特征1：定积分为0
特征2：模的定积分有限
显然这个条件比较宽泛，不过一般都会Normalize，方便查看百分比。
最典型的一个是：
2.深刻点二，如果说FT（傅里叶变换，以下简称FT）的base是无数个不断调整freq（频率，以下简称freq）的sin函数，那么WT的base就是无数个不断调整freq和tao（时域位移）的wavelet函数。以前我看不懂的 也能看懂了，b就是tao，a就是freq。整个函数在沿着时域轴变tao对b卷积，沿着频域轴变freq对a卷积。
3.深刻点三，从信息角度来讲，如果原函数是(100%时域，0%频域)，其FT是(0%时域，100%频域)，那么WT是两者的折中，并且其实就是“海森堡不确定性原理(Heinsberg's Uncertainty Principle)”，所以小波变换同时牺牲了两边的一些信息量，换来了平衡。 可以看作是一个函数Func(in time,in freq,out realComp, out imgComp)，通过计算复数的模长，可以获得类似频域中的占比信息，但它同时还带时域轴的信息：
如果能将整个视频看完，那应该是比较清楚的。
看完之后，我觉得这个WT的思路比FT清晰多了，而且我一直没有实现过FFT海面，因为什么蝴蝶算法太折腾了，我脑子不够用。但全流程换成WT，好像简单清晰了不少。
随便想想的WT海面思路
1.首先有一个时间周期的原海面(in x,in y,out z)，不管怎么来的。
这个周期海面足够复杂，但也是一个周期函数，也就是说不管哪一个(x,y)的点，都会遍历到所有可能的z。那么(x,y)最后只是转换成一个相位差。所以根本来说还是h(t)。
2.对h(t)进行WT，获得一张类似图4的scalogram（占比百分度）。我们可以分几个优化挡位，lod0，先把红色的点沿着time轴采出来，如果按图4，就是大概(2,1),(4,2),(6,2.4),(8,2.5),(10,5)的点，也就是说在第2s，freq为1的base最匹配，以此类推，所以比如第3s，就可以lerp(wavelet[2,1],wavelet[4,2],0.5)这样来采样高度。然后lod1，lod2...是红色稍弱，白色，蓝色...的点，由于它们的百分占比不够高，所以不影响波形的主体形象，从图4上也很直观，也就是一开始低频占主体形象，后来高频占主体形象。
3.因为反正要遍历看最大，不如暴力求和。也就是说每帧都根据当前t，在纵轴上由scalogram作权重全部求和，这就有点像FT还原原信号的意思。假设我们的scalogram图片分辨率是64*64，那么其实就是一张1*64的图片所有像素“求和”。这其实就类比FFT里的蝴蝶法，但是由于我们的base都是wavelet，且scalogram已经是复数的合了，所以只要作“并行折叠加法“就行了，从1*64->1*32->1*16...一共6次Compute Shader的Dispatch，不算高不算低。不管怎么说，我觉得比FFT容易理解。
