速成抢救·考研高数·三角函数相关基本积分公式牢固记忆

考研的小伙们都知道三角函数的相关积分不会出太难，都是基本题型，但有很多时候应用背不熟公式，作者也是，为此我寻找到了一些高效的记忆三角函数相关公式的办法：

一、三角函数的定义级六边形记忆法：

这个六边形是定义级。六边形的画法是先左sin右cos，然后对角线分别取倒数，对应sec和csc，最后中间是左tan右cot。内蕴关系如下：

（1）倒三角平方关系，左上²+右上²=下²

（2）两翼归中关系：左翼·右翼=中间²比如sina两翼是tana、cos，tan的两翼是sin和sec，循环遍历六个顶点，

（3）六个对角线的倒数关系

这是3+6+6=15个基本关系式被高度浓缩传神地表达了。

三角函数和双曲函数是实虚对偶关系，也有相同形式的六边形，三个定义级关系也形式相同。

这是因为三角函数实际上又叫圆函数，实域的圆可以是复域的双曲线，而实域的双曲线也可以是复域的圆。

（4）求导关系：

口诀是“左正右负；上互易，中下方，下中下”

在三角函数六边形中，我们发现求导时正负号为sin一侧为正cos一侧为负，如下图：

二、三角函数的不定积分

ln加绝对值是扩充定义域到x的负半轴。

初学者常常为此感到困惑，一是三角函数的积分怎么就突然ln了，而有些形式相似的代数函数的积分有时候是ln，有时候是反三角函数。能积出ln，说明都能用凑微分法。

再说反三角函数的导数是代数函数，而不再是三角函数：

如图，这是反函数求导、变量代换造成的。

接下来我们揭示三角函数（圆函数）、双曲函数、e指数函数、ln对数函数的统一性。你一定想到了宇宙级公式：欧拉公式。没错，理解的切入口是借助欧拉公式，用e指数函数重新定义三角函数和双曲函数：

三角函数的e指数定义就再加转换关系式：

然后，我设计了一个巧妙的办法:

双曲线的辅助三角形，x轴还和圆一样，但y轴的单位是i

如果这个双曲线是x²-y²=a²，只需把1换成a就行，也就是半径的模方。

这里的x、y正是辅助三角形中的x、y，它们分别是复域单位圆周上某点的实部和虚部。

当没有根号时，三角函数六边形、双曲函数六边形中的平方和关系不显著，比如：

但我仍然觉得这个用不着反双曲正切，裂项分项已足够自然。