【数学基础27】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 数列lim n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；

2. 收敛数列{an}极限为a，则an=a+ɑn，其中{ɑn}为一个无穷小；

3. 收敛数列必有界；

4. 有限个无穷小的和还是无穷小；

5. 有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；

6. 设lim an=a，则lim（a1+a2+……+an）/n=a；

7. 设lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

8. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

9. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

10. 定比分点：在线段P1P2上求一点P，使得由P分成的两个有向线段P1P与PP2的量的比为定数λ（λ不为-1），即P1P/PP2=λ，则P为线段P1P2以λ为定比的分点，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分点公式。
    

11. 矩阵乘法运算律——

    a.结合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

    e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

12. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

13. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

14. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

15. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

16. E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
    

    方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

    方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）

17. 矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'；

18. 定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。

19. 矩阵转置运算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

试证明数列{an}不收敛：{tan n}.

证（反证法）：若tan n有极限a——

1. 已知公式：tan（m+n）=（tan m+tan n）/（1-tan m tan n），令m趋向于无穷大，则有

   a=（a+tan n）/（1-a tan n）；

2. 解得上式：-a^2=1，导出矛盾，证毕。

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

求证（axb）^2<=a^2*b^2，并求等号成立的条件，并对上述不等式作出几何解释。

证——

1. 由外积定义由：

   （axb）^2=|axb|^2=|a|^2*|b|^2*sin^2∠（a，b）<=|a|^2*|b|^2=a^2*b^2，

   等号成立，当期仅当sin∠（a，b）=1，即a垂直于b；

2. 几何解释：以|a|，|b|为邻边的平行四边形的面积小于等于以|a|，|b|为邻边的矩形的面积。

高等代数——

例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——

证明：两个n级斜对称矩阵A与B的乘积是斜对称矩阵当且仅当AB=-BA.

证：

必要性——

1. 已知，两个n级斜对称矩阵A与B的乘积是斜对称矩阵，即A'=-A，B'=-B，（AB）'=-AB；

2. 又（AB）'=B'A'=（-B）（-A）=BA；

3. 由1,2：AB=-BA。

充分性——

1. 已知，两个n级斜对称矩阵A与B，即A'=-A，B'=-B，且AB=-BA；

2. 则（AB）'=B'A'=（-B）（-A）=BA=-AB，即矩阵A与B的乘积是斜对称矩阵。

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