阿基米德是如何借助杠杆原理推导出抛物面旋转体体积的？

       圆锥曲线的研究，由来已久，最早起源于古希腊数学三大尺规作图难题，其中有“化圆为方”、“倍立方体”和“三等分角”问题，在研究其中的“倍立方体”问题时，希波克拉底意外发现了圆锥曲线。还有一个说法是古人在研究日晷时发现的。后来一大批的数学巨匠都对他展开了深入的研究，其中有阿里斯泰库斯，欧几里得，阿基米德，厄拉多塞，直到阿波罗尼奥斯取得了杰出的研究成果，并撰写了《圆锥曲线》一书。后来，中亚数学家欧马尔·海亚姆也对此进行了深入探索，并掌握了用圆锥曲线求解三次方程的方法，但对圆锥曲线本身的发展并没有重大突破。历史等待了将近两千年，终于迎来了圆锥曲线的又一次创新和发展。

        首先取得重大突破的是开普勒，他为圆锥曲线找到了很好的应用场景，就是用它来定义行星运行轨道。伽利略又进一步把它应用到了抛物运动轨迹中。这在无形中再一次推动了圆锥曲线的发展。数学家蒙蒂又重新定义了圆锥曲线，这次他的定义借助了交点和定长来进行，为解析几何奠定了很好的开端。此时，西方绘画艺术中的投射与截影的发展，也为研究圆锥曲线提供了新的工具。由此，三位法国数学家笛沙格，帕斯卡和德·拉·希尔共同开辟了圆锥曲线别开生面的研究方向。直到笛卡尔，费马和沃利斯的研究取得重大突破，圆锥曲线的研究才逐步转移到坐标系和方程的方向上来。这再次说明了，数学的发展不是一蹴而就的，不是某一个人的灵光闪现，而是一代代人不停的积淀，最终才能产出一个分支出来。

       缺少现代解析法的支持，单纯借助几何法来研究圆锥曲线，这是早期研究的必由之路，无奈之下，就连物理知识也被拿来分析数学，其中既有数学发展受制于前位知识的无奈，也有对古人智慧的惊叹。前面三个命题已经初步展示了阿基米德的力学分析法解决圆锥曲线图形的相关问题的精妙之处。在本命题，阿基米德的方法将为我们解释“圆锥曲面旋转体”的体积算法问题。在命题的分析过程中，既领略了古人的聪明才智，又体会了数学的发展路径，从中进一步感受力学分析法和穷竭法对后续数学发展的影响。读过前面文章的朋友，有人提出《阿基米德的方法》被发现，它的失传是否意味着这种方法在历史中的中断。愚以为，其中的穷竭法在现代数学中也是离不开的分析方法，说明它的影响并未中断。而且，这本手写卷被发现，说明在中世纪这种方法依然在流传，不然，也不会有这部羊皮卷流传，更不会有人再利用这部羊皮卷抄写经文了，这也说明它的影响是一直持续进行的。

      下面我们要叙述的是阿基米德的方法中的第四个命题，在这个命题中解决了抛物面旋转体的体积计算的相关问题，这种形如碗状的几何体，单纯直接去计算它的体积，甚至估算它的体积都绝非易事，但借助杠杆原理，阿基米德方法就成功的解决了这个难题。在命题的论证中，阿基米德的方法直接使用了抛物线的二次性，即抛物线上点的纵坐标对应横坐标的平方这个关系，同时直接使用了《几何原本》第十二卷中的命题10，即同底同高的圆柱是圆锥体体积的三倍。再结合杠杆原理和穷竭法就可以成功推导出抛物面旋转体体积的公式出来。下面就奉上我们的翻译文稿，供大家品鉴并指正。