陶十六(绝对值和指数运算)

今天的屑题非常之多，虽然有24道证明，一下午可以搞完。写完之后非常难受 之前关于题3.6.6的证明，贴在这里。

绝对值和距离的定义

新的概念已经出现，怎么能够停滞不前～ 绝对值距离的基本性质，新词：非退化性，三角不等式，可乘性。 (a)，假设f：Q→Q，那么复合函数|f|的图相当于把原本f的图在x轴下方的部分粗暴地翻到上面去。 (b)，假设向量

x

和

y

，将向量

x

的终点和向量

y

的起点重合，那么就形成了新的向量

x

+

y

，它的起点是

x

的起点，终点是

y

的终点，这三条向量形成了一个三角形。满足两边之和大于第三边，即：|

x

|+|

y

|>|

x

+

y

|。如果向量

x

和向量

y

同向，则|

x

|+|

y

|=|

x

+

y

|。因此结论得名三角不等式。 (c)，画个数轴，将y固定，|x|看成d(x，0) (d)，画出平面直角坐标系，并将x，y的乘积看作以x，y为边长的长方形的面积（有正负），则前者相当于将长方形翻到第一象限，后者相当于把边长翻到第一象限。 4.3.1，前四个貌似只能分类，后三个可以用前面结论。

ε-接近性

在学极限的时候会用到。 (a)，ε-接近可以看作一种相等概念。。 (b)，数轴上理解，显然。 (c)，想象数轴上的三个点，想象ε和δ的大小变化时，ε+δ怎样变化。 (d)，想象x，y，z，w是四根棍子，然后模拟一下各种情况，比如两个x>y之类的。 (e)， (f)，你懂，对吧。 (g)，等比放大。 (h)，大概就是这样。

4.3.2，利用好上面的结论别把自己绕晕就行。以(f)的证明为例。 像课本的例题一样设 a:=y-x，b:=z-x，c:=w-x。不妨假设 y≤w≤z，则a≤c≤b。并且|a|≤ε，|b|≤ε，证|c|≤ε。 由命题4.3.3(c)得到-ε≤a≤c≤b≤ε，进而|c|≤ε，结论成立。

指数运算

(a)，基本运算，将相乘变相加是个很有意思的特征。 (b)(c)，幂函数和指数函数图像 (d)，挺好用的。 4.3.3，4.3.4，4.3.5，不多说，扣一真的有用，复活吧，我的归纳法！！ 就这样。