数量积不会做？重要方法都在这！投影+极化恒等式+拆解 | 神奇小猪

这里是官方认证的优秀课代表渡鸦~本课内容数量积，共含有3种进阶方法。笔记包含重点总结与例题思路分析，可以放心食用。

以下向量用粗体表示，如 a

Part 0：数量积是什么

基本公式：a·b=|a|·|b|·cosθ。老师应该讲过，这里就不多说了。

Part 1：投影法

投影法事实上是把 |b|cosθ 看作整体，就是“投影”。

事实上，数量积就是一个向量在另一个向量上投影的长度 与被投影向量的长度之积。

再具体一点，从一个向量两端作两条垂线下去，与另一向量交点间的距离，再乘以被投影的向量的长度，就是数量积。

看上面这道例题。我们把AP投影到AB上，只需要延长AB，并且过P往下做垂线。（事实上你也可以把AB投影到AP上。但显然更为麻烦。）

所以我们的一个原则是：哪个向量不动，往哪个向量上投影。

这道例题，按上面的原则，由于AB2不动，我们把APi往AB2上投影。发现每一个APi投影的长度都是 3根号3。再乘以AB2原来的长度 2根号3。就是他们的数量积。

Part 2：极化恒等式

极化恒等式与夹角无关。用中文表达就是：

三角形两边的数量积，等于中线的平方加底边一半的平方。

看道例题。

由于向量是共终点的，我们可以把它反向视为共起点的向量。又因为它底边固定，我们可以直接套极化恒等式强行解方程。

Part 3：拆解法

事实上，拆解法就是把未知向量用已知向量表示，然后拆开硬算。

那么我们用什么向量，也就是基底，去表示他们呢？

总的思路就是：知道什么向量，哪个向量性质多，就往哪里拆。

看看例题。

这是一个圆，与圆心有关的向量性质很多，我们就把向量往半径上分拆。然后就是无脑的展开硬算了。

Part 4：大练习

第一题由于向量共起点，并且底边长是固定的4，所以肯定要用极化恒等式。

第二题，向量AC是固定的，首选投影法。