用留数定理处理有理分式不定积分

上个视频手算了梗图上的积分：

当时将分式进行拆分才得以完成，结果相当复杂，参见上次专栏：

然后评论区有人问100次方能不能算。

其实也是可以的，但是需要更高级的方法：留数定理。

关于留数定理，笔者去年曾有相关笔记在此分享：

其实刚学的时候只学到留数可以处理实变函数的定积分，确实没想到在拆分有理分式时各项系数可以用留数解决。

所以，今天我们来求：

为了化为能解的形式，我们首先考虑拓展到复数域，考虑复变函数：

它有100个一阶奇点：

由于每个奇点都是一阶，可以考虑将它写成以下求和：

那么利用两边的表达式求解第 k 个奇点留数，就可知：

从而得到

这样积分就容易处理了，只需把每个奇点那一项和与它复共轭的奇点那一项相加：

就可以让一切回到实数域了。所以

搞定。