【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep76】上极限及下极限：定义
因为这一部分算是实数理论里比较复杂且重要，应用较广泛的一部分，所以，我翻了手上库存的所有教材，大概普遍上，上/下极限有两种方法定义，然后还有了解一些有趣数学符号，有助于数学教材的阅读也是这篇文章的目的之一。
我们先复习子列（部分数列）的概念（Ep73）——
子列/部分数列，即从已知数列{xn}选出一个 全新的数列，操作如下——
从{xn}选出第一项xn1作为子列的第一项，n1>=1；
从{xn1，xn1+1，……}选出xn2作为子列的第二项，n2>n1；
以此类推，……
从{xnk，xnk+1，……}选出xn（k+1）作为子列的第k+1项，n（k+1）>nk；
由此构造出{xn}的一个子列。
下面开始介绍上/下极限的定义——
42上限及下限
a.定义一
第一种定义见于《微积分学教程》和华师版的《数学分析》——
以《微积分学教程》为例——
即将上/下极限定义为所有有极限的子列极限中的最大/小值，在这种定义的情况下，将∞与-∞都看作一个确定的数字。
b.定义二·
第二种定义被更广泛采用，基本上常见教材都采用这种定义方式，以常庚哲、史济怀老师的《数学分析教程》为例——
即将上/下极限定义为数列有极限子列的极限所构成集合的上/下确界，在这种定义之下，如果这个集合的上/下确界属于这个集合本身，那么，即可得出前两个定义等价。
c.定义三
构造数列的方式，见于张筑生老师的《数学分析新讲》以及伍胜健的《数学分析》，以《数学分析新讲》为例——
构造方式为，依次先构造出一系列数集——
A1={x1，x2，……，xk，……}；
A2={x2，x3，……，xk，……}；
……
An={xn，xn+1，……，xk，……}；
……
构造数列{yn}和{zn}，其中yn是An的下确界，zn是An的上确界，这两个数列如果有极限，其极限则分别为{xn}的下/上极限。
这个构造也是《微积分学教程》中用来证明一个性质一个工具。我们下次开始聊上/下极限相关的定理与性质。
今天就到这里！
