挺有用的常微分方程（一）
哈喽！来啦！
本来在想什么时候开始写，后来想了一想还是现在开始写。（当代经典无意义文学了属于是，doge。）
其实主要原因还是因为写完了数分之后，心里的那种失落感总是不断地冲刷着我。我估计很多小说家，作家和画师或者连载作者一类的职业的相关从事人员估计比较容易体会这种心情吧……所以我想开一点新的东西来缓解一下。（有种大号通关了舍不得又开了个小号的异曲同工之妙，喵~）
本来还在纠结高等代数和常微分方程先搞哪个，但是我代数学的实在是不怎么样……所以还得把代数学的内容在精进一些才比较好写一些东西。（我的基础数学课里代数学是学的工科的线性代数，即使是这种难度其实也理解的不太好，我总觉得我更能理解分析学的很多想法和思路，以至于同样是证明题，代数学的证明对于我来说就难很多，甚至于计算都是难事。）
但是常微分方程作为分析学的延伸领域，倒挺适合在写完数分之后就接上的，这样就能够将很多分析学知识理解得更好，同时也能借助刚学完分析学的东风很快上手常微分方程的内容。
虽然常微分方程可能还会涉及到一点代数学的内容，不过等到那一部分的时候，估计代数学也已经开了一点了吧，估计也就够用了。所以，慢慢来吧~（乐）
我用的参考教材呢，是王高雄老师编写的《常微分方程》和俄选数学译丛中原著为庞特里亚金的《常微分方程》。在前面有关初等积分法的部分，基本上按照王高雄老师的编写的教材来介绍，而后期开始，尤其是从存在唯一性定理开始，可能就会偏向使用俄选数学译丛了。
基本情况介绍的差不多了，那么……我们就开始吧！
Chapter One 常微分方程绪论
回忆一下我们在数学分析当中所学到的各种知识，我们不难总结出来，实际上数学分析所集中研究和处理的内容，就是有关函数以及函数的微积分学的内容。如果函数是显式的，那么我们就能够直接研究它的很多分析性质；但如果函数是隐式的，我们就要考虑利用隐函数定理等内容来研究它的分析性质。
当所研究的函数是隐函数的时候，多半是以函数方程的形式表达出来的。这种时候，在使用隐函数定理之前，我们可能会更倾向于将真实的显函数解出来。如果函数方程是广义代数方程时（即只涉及到各种函数本身的基本代数运算，而没有出现微分、积分等其他高等运算的方程），我们一定程度上可以通过一些手段来达到这一目的；但是，如果函数方程中涉及到了微分或者积分运算，问题相对就要变得复杂一些了。
我们将含自变量，未知函数与其导数（或者说是微分）的函数方程，称之为微分方程。特别地，当自变量只有一个的时候，这说明未知函数是关于该自变量的一个一元函数，这时我们称这一微分方程为常微分方程；如果自变量不止一个，那么我们就称其为偏微分方程。
常微分方程是数学分析或者说是基础数学的一个重要组成部分，在整个数学大厦当中都占据着十分重要的地位。从应用方面来看，常微分方程在自然科学、社会科学和许多其他领域发挥着重要的作用，包括物理学、化学、生物学、经济学、人口学等等等等……在反映客观世界真实的量与量之间的各种关系的表达中，涉及到了大量的常微分方程，这也表明常微分方程成为了我们进一步了解客观世界的各种关系的有力工具。
因此，我们有相当大的必要，来好好地仔细研究常微分方程的相关内容，来为我们后续学习建立起足够的基础。
至于为什么不在数学分析当中直接介绍这一部分内容，一部分原因是，目前的数学分析教学体系已经相当的严密与充实，将这一部分内容再加入进去就会显得有一些臃肿；另外一方面，常微分方程发展至今，已经不是三言两语就能介绍得清楚的，而其重要作用又需要将其介绍的稍微细致一些，不能含糊其辞，也不方便有所省略。因此将其作为单独的理论拿出来，专门开设相关内容，就能将其介绍得更详细、更完善一些。
我们先来引入几个模型，来简单认识一下常微分方程~
模型1：数学摆
所谓数学摆，就是在一根长度为l的细线端点上系上一个质量为m的质点所组成的系统。这一系统的另一端点固定，质点在所受到的重力作用下做圆周运动。系统地状态与受力如下图所示。
我们不讨论物理细节，只是基于一些物理学的基本结论来研究这个问题。我们的核心是介绍常微分方程。
物理学中认为，这样的摆动在无阻力影响下应该是周期的，并且运动轨迹应该关于圆心与最低点的连线轴对称。我们暂不考虑向心加速度，只关心切向加速度。基于Newton第二定律（其实，Newton第二定律本身就是个微分方程），我们很容易发现，应该有：
而又因为：
于是就有：
考虑到：
于是就得到了：
模型2：人口模型
英国人口统计学家Malthus在担任牧师期间，通过查看当地教堂100多年的人口出生统计资料，惊奇地发现，人口出生率大致为一个常数！基于他所发现的这一现象，在1798年，他发表了《人口原理》一书。在其中，他根据自己提出的基本假设——在人口自然增长的过程中，净相对增长率为常数r（称为生命系数）——提出了闻名于世的Malthus人口模型。
将Malthus的基本假设写成数学表达式，就是：
因此，就有：
这就是著名的Malthus模型。我们很容易利用这个方程分析出来（甚至无需解出具体函数的表达式），当r＞0时，人口数量将会递增至无穷大。
当人口总数不大时，这一结论是相当合理的，因为此时各种资源是极大充裕的，足够人口无限制地增长。但是，各种资源的总和实际上是相当有限的，因此人口也不可能无限增长没有节制，这个时候，Malthus模型就不再适用了。
考虑到这一点，荷兰生物学家Verhulst引入常数，称其为环境最大容纳量，用以表示在自然条件和环境条件所能容纳的最大人口数，并假设净相对增长率实际上为：
于是，人口模型就变成了：
此即另一个有名的人口模型——Logistic模型。
模型3：生态群模型
意大利生物学家D'Ancona发现，年间捕鱼量减少，但是相对的，捕获到的食肉鱼的占比却急剧增加。为了解释这一现象，意大利的数学家Volterra建立了一个关于食肉鱼与被食鱼的生长情形的数学模型。
我们设食肉鱼的总数为，被食鱼的总数为
。当无食肉鱼时，被食鱼本身应该按照一定的模型增长。由于实际上受到一定的制约使得被食鱼的总量达不到其理想上限，甚至偏离很远，所以我们可以使用Malthus模型来估计被食鱼的增长，即：
现在，我们考虑食肉鱼的作用。假如说食肉鱼每与被食鱼相遇，就有一定的概率因为生存需要而捕食被食鱼，那么，在一定时间内，被食鱼的总量应该就为：
（为表征两类鱼相遇以及捕食行为发生的概率的常数。）
此时，就有：
而食肉鱼的情况则与之不同。因为食肉鱼的食物是被食鱼，它们的数量是有限的，因此其自然相对净增长率也要受到因此限制。自身数量越多，增长的幅度就要越慢；而被食鱼的数目越多，则生存就会更容易。综合一下，就表达成：
我们目前只考虑了无人类捕猎活动的情况，得到的这一模型称为Volterra捕食-被捕食模型。
像这样的模型还有很多，比如说传染病传播模型、交通模型、天气系统的预测模型等等，其基本理论很多都是由一些微分方程构成的。这也再次让我们认识到了微分方程的重要作用。
我们前面已经介绍过微分方程的基本种类，包括常微分方程与偏微分方程。这是最为基本的两种划分方式。但是，其他角度的划分也是存在的，比如说，在某些情况下，方程的表达与解当中涉及到了复数，此时我们称微分方程为复值微分方程；对应地，只有实数与实变数的微分方程就称之为实值微分方程。又比如，在涉及到高阶导数的微分方程里，如果微分方程能够表达成：
我们就称这是线性微分方程；对于不是线性的微分方程，我们称之为非线性微分方程。
介绍完微分方程的基本分类，我们接下来看一看微分方程的解。
我们知道，常微分方程的解是一个函数，换句话说，就是表达成：
或
对于前者，我们称其为显式解；而对于后者，我们就称之为隐式解，有时候也称为“积分”。二者的区别不过就是解的表达方式不同，其实质上是一样的结果。只不过，很多时候解出来的解的形式并不像我们理想的那么好，解出显式解难度很高，于是我们退而求其次，选择以隐式解来表达方程的解。
因为我们在解微分方程时，所依据的基本都是积分学的内容。而无论是考虑定积分还是不定积分，我们都能够想到，解出来的解应该是一个函数族，它们在一定程度上只相差一个任意常数。因此，我们解出来的解，一般而言都是关于这些一般独立的常数以及自变量的多元函数。这种能够表示出所有解的表达方式，我们称之为微分方程的通解；而对应的，对于特别给定的常数，我们得出来的，都是微分方程的特解。此时，我们也称隐式通解为“通积分”。
给定常数以求出特解的方式有很多，常见的就有两类——初值条件与边界条件。我们将求解特定条件下的特解的问题称之为定解问题，给定初值条件时，我们称之为初值问题；而给定边界条件时，我们称之为边值问题。边值问题的解决更多的是在偏微分方程当中涉及的比较多，我们主要讨论的是初值问题。
隐式通解的图像表达为平面上的一族曲线，其中的任何一条都称为微分方程的积分曲线。如果我们将微分方程表达成：
我们就知道，积分曲线上的每一点的斜率，都是方程右侧函数在对应点处的值。因此，我们可以用在平面
上某区域
上定义过各点的小线段的斜率方向，这样的区域
称之为微分方程的方向场，又称向量场。我们可以用向量场来定义或代表相应的微分方程。
方向场中的方向相同的曲线满足：
这些曲线称为等倾曲线或者等倾线。等倾线可以用于判断积分曲线的走向。
我们上述介绍的几个模型当中，有关生态群模型给出的实际上是一个方程组。由微分方程构成的方程组称之为微分方程组。一般而言，微分方程组有两类，一类是常微分方程组，另一类是偏微分方程组。二者的主要区别是，常微分方程组的自变量是单一的，方程组表达的只不过是关于这个变量的几个不同的函数之间的作用关系；而偏微分方程组则不仅涉及到函数之间的作用关系，自变量也不唯一。用相对简洁一点的话来说，就是常微分方程是一元向量值函数的微分方程，而偏微分方程组则是多元向量值函数的微分方程。
对于常微分方程组而言，有一类特殊形式的方程组：
值得我们注意。可以看出来，这类方程组的特点是右侧多元函数不直接包含自变量t。此时，称这一方程组为驻定的，或称为自治的；反之，如果右侧函数直接含有自变量t，则称这一方程组为非驻定的，或称为非自治的。
非驻定方程组一般都可以化成驻定方程组，只是方程组的维数要升高。变换方式为：
此时，方程组的维数升了一维。
驻定方程组的概念与研究在动力系统中涉及到的比较多，但是这并不在我们严格讨论的范围之内，因此我们也就介绍到这。
最后，我们来介绍一点其他的概念——相空间和轨线。
所谓相空间，就是仅由未知函数组成的空间。我们知道，积分曲线实际上表明了未知函数与自变量之间的作用关系，是微分方程解的图形表示。因此，积分曲线实际上是由未知函数与自变量所共同构成的空间当中的一族曲线。如果我们称积分曲线所在空间为解空间，那么在这个意义下，我们知道，相空间实际上是解空间的子空间。在相空间中满足微分方程的点，实际上都是解空间中对应的点的投影。这样，所有积分曲线在相空间的投影，就构成了一族在相空间中的曲线，称之为轨线，又称为平衡解（驻定解、常数解），也称为奇点。
对于特殊形式的微分方程的积分曲线，我们有对应的判断其走向的方式。而对于轨线的走向，我们也可以做一些研究。
我们以二维微分方程组为例，来研究轨线的走向。
设方程组有如下形式：
其相空间是个二维平面，称为相平面。相平面上轨线的走向取决于y关于x的导数或者x关于y的导数。从微分的运算性质，我们不难得到：
这就标明了轨线的走向。
我们还可以利用等倾线法确定轨线的方向。利用上面的表达式，当时，我们得到了垂直等倾斜线；当
时，我们得到了水平等倾斜线。有了这两条等倾线，我们就可以利用它们对相平面的分割，来判断轨线的走向。（向左/向右，向上/向下）
至此，我们已经将常微分方程的基本概念介绍的差不多了。
常微分方程作为严谨的数学分支，并不仅仅是计算技巧和提示的高度汇集，更是数学思想的集合地。在后续的学习当中，我们会发现，我们之前在数学分析中介绍过的很多内容，在常微分方程当中都有着应用与体现；而很多代数学的思想与内容，在常微分方程中也都有所出现。
事实上，常微分方程虽然有很大的应用价值，但是应用并不是它的最重要的部分。事实上，正是因为常微分方程有着丰富的数学内涵，所以才可能衍生出很多的应用角度。这些应用本质上都是常微分方程的数学内容的一般体现，并不能够算作是重点。
当代数学大师对常微分方程的重要意义的认识是“常微分方程对其他学科领域的重要性在于它能启发、统一并推动这些学科领域”“此外，了解常微分方程与其他学科之间是如何联系的，对于学生及数学工作者来说，是获得洞察和启示的一种主要源泉”。
与诸君共勉。
最後の最後に、ありがとうございました！
