控制系统理论知识小结

今天再推导稳定性证明过程，思考与收获如下。

本篇文章最核心的是下图。

掌握好，本章无需再看，后面有点瞎扯淡，就放着吧哈哈哈，可能最近熬夜熬傻了，上图记住，切记切记！☆☆☆☆☆

1、什么是稳定。

官方定义，在扰动作用下，系统偏离了原来的平衡状态；若扰动消除之后，系统能以足够的准确度回复导员俩的平衡状态，则系统是稳定的。

2、如何理解呢，结合下图分析，见仿真程序Nonlinear_Basic_Backstepping_Stabilization_Design_WLH

模型是个非线性

状态方程dotx=x^2-x^3。其实隐藏的一个输出方程y=x.(一会后面用到)

一个模型拿到手，我们可以先求一下平衡点，概念见第一期文章。“非线性系统控制知识整理”

（当然补充一点的是线性系统只能有一个平衡点，非线性系统可以有多个。我感觉平衡点总会存在，随便给一个x的线性表达式，就可当成dotx，既然是线性表达式就是kx+b的形式，一定油平衡点。即便是多个x也成立，比如dotx=x1+x2+4*x3，可以写成dotx=Ax=0，A满秩，齐次线性方程组等于零一定有解即平衡点。当然，非线性系统也肯定有平衡点了，而且可以有多个。如果一个系统是有平衡点的，那么该系统任意一个初始状态都会自由的向着某一个平衡点运动，最后收敛至某一平衡点。注意“自由的”意思是没有外界输入。）

dotx=0，求得x=0或1。所此系统与两个平衡点，0，1。

在仿真程序里，我们把u=-x^2+x^3-kx去掉，然后给积分器的x赋初值，系统会自己收敛到平衡点！且仿真时间同样长。

x（0）            收敛位置x（t→）

10                    1

10000                1

-10                    0

0.1/1000001     1

-0.0000001        0

说明这个系统是稳定的（自由响应趋近于平衡点）当然其实系统的初始状态也可以看成是干扰或者扰动，比如x的初始状态是10，那么可以说明系统这个时候某物体的高度是10，可能有个东西在给它一直提供一个持续的托举力F，是它一直保持高度10，当送手之后，自由响应，他会趋近于高度为1的平衡点。（注意与实际联想联系）

当然，给这个仿真程序加上u，这时候系统的平衡点变了！从0,1变成了只有1，为什么？因为此时dotx=-kx，只有0。其实我们发现控制的作用就出现了，它把非线性系统变成了一个线性系统，改变了这个系统的内部结构。当然这个u是我们设置的，设置不好还会使状态方程发生其他变化，甚至会增加系统平衡点。比如，u=-x^2+x^3-kx+x^5，此时dotx=kx-x^5。此时仿真结果告诉我们系统不稳定。即，我们设置的控制器有问题，把一个稳定的系统给它一个我们设计的指令，系统就坏了。现实中可以用这几个例子去体会，给一个220v标准系统输入了一个10000V的电压，系统内部结构直接破坏。因为系统内部每一个环节都对应相应的机构或机械或芯片或元器件。而且注意，系统稳定与外界输入无关，是系统内部参数和结构决定的。不给输入，自己收敛到平衡点足以说明。为什么有时候给了输入，系统还会发散？是因为输入破坏了系统内部结构，而导致的不稳定。若一个系统是稳定的，只要输入适宜，一定稳定。

从上述例子继续总结，既然不加控制器，系统也可以收敛到平衡点，那为什么需要加控制器呢？原因有以下几点：1，让系统更（稳准快）的收敛到平衡点；2，用控制器改善系统性能，将我们不需要的平衡点去除，只保留一个我们需要的平衡点。也就是通过控制器去调整输出调整到我们需要的信号。3，待完善

3、进一步认识微分方程、r、c与系统（动态）方程（状态方程x、输出y方程、控制输入u）与实际系统的联系！！！☆☆☆☆☆

上面是《自动控制原理》卢京潮版本中的一个例子。下面我将从微分方程（经典控制）、系统实际、系统动态方程三者去分析这个例子。

1）系统实际角度

这是个函数记录仪，输入是给定电压u，输出是记录笔的位移L。

比如出来一个正弦函数的图像，这个正弦函数的图像特征转化成对应的电压u信号，使得，通过把这对应的电压u信号输入给记录仪，记录仪可以给我输出一个与这个正弦函数图像相差不差的。

2）微分方程（经典控制）角度

根据微分方程，进行拉普拉斯变换，写出

C/R=L/u=(s的函数)/(s的函数)，通过分析特征方程从而看系统的稳定与否。

3）系统动态方程角度

状态方程

dx1=x2;

dx2=-K1*x2-K2*x1+K3*u;

输出方程：y=x1;

写到这里会发现系统动态方程里的控制输入u就是微分方程里的输入信号R，也就是电压信号u。

重点如下！！见仿真程序C:\Users\Atwood\Desktop\代码合集\非线性控制代码/Compared_classical_modern_control_WLH.slx

设定积分初始值为0

无输入，即R=0，即u=0，系统无任何响应输出，即L=0不工作，即C=0，即y=x1=0。

输入是阶跃信号时，即R=1，即u=1，系统输出有输出在阶跃的影响下保持在一个新的平衡点，即L有值开始工作，即C有值，即y=x1有值。

设定积分初始值不为0

此时无输入，就是系统的自由响应，说明系统这是在工作，但是没有输入，工作一会就会趋近于平衡点。若此时给一个阶跃信号输入，系统的工作状态被阶跃信号打断并持续受其影响保持在一个新的平衡点。

经典控制理论中控制器其实是起到了一个大脑计算+控制的功能

就以这个记录仪为例，用经典的控制理论去分析，这个记录仪功能已经在了，大家都能理解的是，我现在给他给他个信号，我不需要得到它输出的反馈对吧，因为我只要按照记录仪的输入要求给它相应的电压信号就好了，然后我给它一个输入，他就工作了，然后输出。结果我发现，我去，位置歪了。。。那我就重来第二遍，我亲自调整一下它的纸的位置，然后把刚刚的同样的喜好加给它，它又自动工作了，结果发现输出了一张白纸，原来是没墨了。。。

我现在要做的就是给它设计一个控制器！这个控制就是控制输入，包含我刚刚给他的这个信号r1,更重要的还有这个记录仪输出端的信息，包括纸张位置函数、有无墨水函数等与输出有关系的，把这些东西加进去，我给他一个要记录的电压信号，它就不会出现刚刚那种情况了。这也是控制输入，需要从输出端反馈。