【数学基础39】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
双重向量积：给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一个双重向量积。
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
参考资料：
《数学分析习题演练》（周民强 编著）
《解析几何》（吕林根 许子道 编）
《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）
数学分析——
例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——
求数列极限：I=lim n[n^（1/n）-1]^2
解：
n>3时，
n
=[n^（1/n）]^n
=[n^（1/n）-1+1]^n
=1+n[n^（1/n）-1]+n（n-1）[n^（1/n）-1]^2/2+n（n-1）（n-2）[n^（1/n）-1]^3/6+……
>n（n-1）（n-2）[n^（1/n）-1]^3/6，
则n^（1/n）-1<[6/（n-1）（n-2）]^（1/3）；
0
<=n[n^（1/n）-1]^2
< n[6/（n-1）（n-2）]^（2/3）
=[6n^（3/2）/（n^2-3n+2）]^（2/3）
={6/[n^（1/2）-3n^（-1/2）+2^（-3/2）]}^（2/3），
lim n[6/（n-1）（n-2）]^（2/3）=0，则I=lim n[n^（1/n）-1]^2=0.
解析几何——
例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——
证明：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量。
证：
由向量积定义（axb）xc⊥c，（axb）xc⊥axb；
a⊥axb，b⊥axb；所以（axb）xc与a，b共面.
高等代数——
例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——
证明：如果数域K上n级矩阵A满足bmA^m+bm-1A^（m-1）+……+b1A+b0E=0，其中bi属于K，i=0，1，……，m，且b0不为0，那么A可逆，并且求A^（-1）.
证：
bmA^m+bm-1A^（m-1）+……+b1A+b0E=0，
则bmA^m+bm-1A^（m-1）+……+b1A=-b0E，
则-bm/b0A^m-bm-1/b0A^（m-1）-……-b1/b0A=E，
（-bm/b0A^（m-1）-bm-1/b0A^（m-2）-……-b1/b0E）A=E，即A可逆；
A^（-1）=-bm/b0A^（m-1）-bm-1/b0A^（m-2）-……-b1/b0E，证毕。
到这里！
