火柴人 VS 数学(Math)

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数学知识

0:07 最简单的开始方式 -- 1 被公理地给出为第一个自然数（尽管在一些分析文本中，他们首先声明 0 是自然数）

0:13 平等——你在数学课上学到的两个对象之间的第一个关系。

0:19 加法——四个基本算术运算中的第一个。

0:27 重复添加 1，这就是我们在集合论中定义其余自然数的方式； 也是乘法的预兆。

0:49 除 1 之外的数字的加法，可以使用我们所知的加 1 来定义。 （证明略）

1:23 减法——四个算术运算中的第二个。

1:34 我们的第一个负数！ 它也可以表示为 e^(i*pi)，是将 e^x (\sum x^n/n!) 的泰勒级数域扩展到复数的结果。

1:49 e^(i*pi) 自身乘以 i，这打开了一扇通往……想象王国的大门？ 也暗示了橙色实际上是在现实世界中的事实。 TSC现在如何才能再次达到数量？

2:12 重复减 1，类似于自然数的减法。

2:16 消极乘以消极，产生积极。

2:24 乘法，以及通过重复加法或任何运算对其进行解释。

2:27 乘法的交换律，以及 12 的因数。

2:35 除法，最后的算术运算； 也很好地表明 - 和 / 之间的关系就像 + 和 x 一样！

2:37 除法是将重复减法的次数计数到零。

2:49 除以零以及为什么它没有意义。 令人惊讶的是 TSC 没有从中创造出黑洞。

3:04 乘幂作为重复乘法。

3:15 更高的指数如何对应于几何尺寸。

3:29 任何非零的零次方都是 1。

3:31 负指数！ 以及它与分数和除法的关系。

3:37 小数指数和平方根！ 我们现在越来越近了...

3:43 无理数的十进制展开（如 sqrt(2)）是不规则的。 （我避免说“无限”，因为从技术上讲，每个实数都有无限的小数扩展......）

3:49 sqrt(-1) 给出虚数 i，它首先由属性 i^2 = -1 定义。

3:57 根据我们所知，复数的加法和乘法是有效的。

4:00 i^3 是 -i，这当然给我们 i*e^(i*pi)！

4:14 参考 3:49

4:16 欧拉公式 x = pi！ 该公式可以通过重新排列 e^x 的泰勒级数来表示。

4:20 小细节：被负号击中会改变 TSC 的方向，这是复平面的另一个暗示！

4:22 e^(i*pi) 到 e^0 对应于复平面上沿单位圆的运动。

4:44 +1/-1“军刀”互相撞击，发出“0”火花。

4:49 -4刀击中+1刀变为-3，以此类推。

4:53 2+2弩发射4支箭。

4:55 4 箭头击中除号，与 pi 对齐得到 e^(i*pi/4)，推动它绕单位圆 pi/4 弧度。

5:06 TSC 通过乘以 i 来推动自己，绕单位圆旋转 pi 弧度。

5:18 TSC 发现复平面（终于！） 5:21 虚轴； 5:28 实轴。

5:33 单位圆的最简单形式。

5:38 2*pi 弧度的圆。

5:46 弧度的定义方式——跨越长度为 1 的弧的单位圆中的角度。

5:58 r*theta -- 半径为 r 的圆中角度为 theta 的弧长的公式。

6:34 对于单位圆，theta / r 就是角度。

6:38 绕圆的一半正好是 pi 弧度。

6:49 正弦和余弦函数与绕单位圆逆时针旋转的关系 - sin(x) 等于 y 坐标，cos(x) 等于 x 坐标。

7:09 sin(x) 的旋转可以可视化 sin(x) 和 cos(x) 之间的位移。

7:18 参考 4:16

7:28 将指数改变为 pi 的倍数，以向各个方向推动自身。

7:34 新形态！？ e^x 的泰勒级数，其中 x=i*pi。 现在它有无限弹药了！？ 同样，弹药留下每个术语的十进制扩展作为其弹道标记。

7:49 面积为 pi r^2、高度为 8 的圆柱体的体积。

7:53 给读者的练习（哈哈）

8:03 参考4:20

8:25 cos(x) 和 sin(x) 用 e^(ix) 表示

8:33 不幸的是，这部分我不明白... TSC 创建了一个“功能”枪 f(x) = 9tan(pi*x)，因此在 e^(i*pi) 处射击会得到 f(e^ (i*pi))= f(-1) = 0。（感谢@anerdwithaswitch9686的解释——这是对我来说唯一有意义的解释；尽管仍然无法解释箭头，但这可能足以足够 这个哈哈）

9:03 参考 5:06

9:38 “函数”枪，现在在无穷远“求值”，通过每次增加一维来扩展实空间（这是一个向量空间），即实空间的跨度扩展到 R^2，R^3 ， ETC。

9:48 log((1-i)/(1+i)) = -i*pi/2，乘以 2i^2 = -2 再次得到 i*pi。

9:58 通过缩短间隔并取极限来阻挡“无穷大”光束，这不是黎曼积分的精确定义，但对于这个来说已经足够接近了哈哈

10:17 将圆平移 9i，将其沿虚轴向上移动

10:36“位移”光束再次袭来！ 参考7:09

11:26 现在你正处于想象的境界。

12:16 “我怎样才能离开这里？”

12:28 不太明白这个...说“退出”，“t”只是一个半隐藏的 pi（感谢@user-or5yo4gz9r）

13:03 n! 分母中的 展开为 gamma 函数，这是阶乘函数向非整数的常见扩展。

13:05 将迭代器从 n 替换为 2n，更改被加数的表达式。 被加数是半径为 1 的 n 维超球面的体积公式。（感谢 @brycethurston3569 的提醒；您的描述很接近！）

13:32 Zeta（最著名的是分析中 Zeta 函数的一部分）以及 Phi（黄金比例）和 Delta（通常用于表示分析中的小量）加入进来

13:46 喜欢它——Aleph（最著名的是 Aleph-null 的一部分，代表最小的无穷大）在背景中若隐若现。

韦尔普就是这样！ 反正在我眼里。 我错过了什么吗？

第n次编辑：感谢评论区的支持！ 作为一个数学专业的学生，能够出于热情写下这篇文章绝对有帮助。 当我完善描述时，请继续提出建议！