量纲与量纲分析
什么是量纲
让我们先从量纲这个概念开始吧。
量纲是用来表示物理量的是由什么基本量构成的。例如力的单位牛顿(N)可以写成：
基本量一共有七种，它们又被称为国际单位制（SI units）分别为：
时间： 秒（s）
长度： 米（m）
质量： 千克（kg）
电流： 安培（A）
温度： 开尔文（k）
物质量： 摩尔（mole）
光强度： 坎德拉（cd）
对于任何物理量的量纲，都可以通过其计算公式推导出该物理量的量纲，以密度为例：
M为质量，以千克为单位；V为体积，以立方米为单位，所以密度的量纲就是kgm-3。就如同你在写下化学方程式左右的原子数要相同一样，每个物理公式左右两边的量纲也应当是守恒的。举个例子，下面是伯努利方程：
p为压强，单位为帕斯卡（kgm-1s-2）, v为流体速度（ms-1），g为重力加速度（ms-2），h为高度（m）。
公式左右两边的量纲都为kgm-1s-2，这说明至少在逻辑上这个公式大概是正确的（当然这不代表可以只用这种方法证明自己的研究成果是正确的）。当然还可以通过算一下等式两边的量纲来为自己在考试中确认有没有记错公式。虽然量纲正确不代表公式就肯定正确，因为常数是没有量纲的，但至少写出来大差不差，遇见心善的老师还能给你几分步骤分。
顺便提一嘴，量纲相同的物理量并不代表这两个物理量是等价的。举个例子，功和力矩，它们的量纲都是kgm2s-2，但这两个物理量代表的意义并不相同。如果具体一点的话就是功是力这个向量与距离ds的点乘结果，而力矩则是这两者的叉乘结果。标量与向量的物理意义是不同的，但这不是这里的主题，就此略过。
分析量纲有什么用
量纲分析在流体力学中有着广泛的应用，引用我本科老师在欢迎页写下的第一句话：“Thermofluid is an ugly world.”。流体力学不是一个清晰明了的学科，大概也没有人会去仔细对流体中的每一个分子去做详细的受力分析以计算流体的运动，因此对流体的分析基本都是基于一些标志性的物理量来对流体的运动进行推测。而这门混乱的学科中的混乱的理论使得许多结论并不能简单得通过计算得出，这便让实验在这门学科中有了极高的地位。对于实验来说，当然是效率越高成本越少是最好的。设想一下，你在建造一种新型的飞机，你为它设计了一种新的机翼构型，为了对你的设计进行实验，难道要花重金去将这个设计造出来装到飞机上去进行测试吗。可能你财力雄厚愿意进行这种风险投资，但是飞行员恐怕不太敢把自己的安全堵在你的专业上。如果实验结果展示出还有巨大的改进空间，你还需要再重新制造一个新的机翼，再去找愿意冒险的飞行员。这个过程多少有些得不偿失了。在现实中，一般使用等比例缩小的模型来进行这种实验，而这就有了很重要的问题，因为流体力学并不是一个线性的世界，这么说可能不太直观，举个例子：
相信大家都知道欧姆定理，既通过导体的电流等于其两端的电势差除以导体本身的电阻。如果想让通过导体的电流变成原来的两倍，只需要将导体两端的电势差增加一倍就好了。
但流体力学中的大部分关系不是这样的。
拿欧姆定理举个例子：
在这个关系表达式中，在明确R1和R2的关系之后，I1和I2的关系就十分易得了。
但在流体力学中大部分问题都没有这么简单，其中许多的因变量和自变量之间的比例关系就是个盲盒，你甚至列不出一个求你发明的新创造物的某项特征的式子，只能使用逻辑推导和实验来获得你想要的数值。
回到我们的机翼问题，如果机翼模型的长度缩小了n倍，那其他参数需要缩小几倍才能让我得出一个可用的结果呢？
量纲分析
前文提到了相似性，相似在流体力学中指：对于等比例模型来说，形状要相似，流体要相似，流体对模型施加的力要相似。形状相似很好理解，而剩下两个就需要解释一下了。
机翼这个问题有些具体，涉及到很多流体力学的背景知识，大家感兴趣的话我们再细聊。机翼的设计中正好就可以找到这剩下的两个相似，既流体本身流动的性质与流体对机翼的阻力。影响阻力大小的有流体的密度、流体的黏性、流体流过机翼的速度，和机翼的特征长度。这时便可以认为机翼受到的阻力是由密度、黏度、速度、长度这四个自变量组成的函数，既：
这里要引入一个理论，白金汉理论，相信大家对原理不感兴趣，接下来将直接演示如何使用这个理论进行量纲分析：
第一步，把等式左右的量纲都列出来。
阻力的单位是牛顿，牛顿的量纲是 kgms-2，密度的量纲是kgm-3，黏度的量纲是m2s-1（黏度分为绝对黏度和动态黏度，分别以μ和υ来表示，这里用的是动态黏度的量纲），速度的量纲是ms-1长度的量纲是m。
在这个等式中一共有五个变量和三个基本量（千克，米和秒），那么便需要五减三，既两个无量纲数来形成相似的线性比例关系。
这里又出现了一个新概念，无量纲数。望文生义便可知这个数不具有量纲这个物理意义，相反当两个物理模型具有相同的无量纲数的时候，才可以确保这两个模型有比例关系。
如何使用这些变量来凑出无量纲数呢。
第二步，组成派。
因为这个关系中只有三个基本量，那么首先就要挑出三个基本量最简单的自变量，对这三个自变量的要求是这三个自变量需要包含等式中所有的基本量，既米，千克和秒。在这里就是长度，密度，和速度。这时候还剩下了两个变量，既阻力和黏度，使用三个自变量分别与剩下的两个变量乘在一起以组成两个派：
第二个派：
既然两个派都是无量纲数，那么就需要计算出可以让前三个变量的量纲和最后一个变量的量纲互相抵消的abc的数值。
这就来到了第三步，烤派。
现在就可以将其列成方程组，对于第一个派来说：
或者写成：
易得[指使用魔棒（Matlab）念咒语（输入[1 0 0;-3 1 1;0 -2 0]\[0;-2;1]）,当然这个程度口算也是可以的]：
第一个派就是：
对第二个派来说只需要照猫画虎：
或者写成：
易得：
第二个派就是：
现在烤好了两个派，那么这个派要怎么用呢。
白金汉理论表示当两个派的数值相同的时候，组成派的量纲便成了比例关系。举个例子，如果要研究这个飞机在木星上飞行时机翼受到的阻力，就可以使用这两个烤好的派。在这里使用1：20的等比例缩小模型。
木星大气主要由二氧化硫组成，二氧化硫的黏度是4.87e-6,空气的黏度1.48e-5米方每秒,这时候联立两个派就可以得到模型相对空气的速度，也就是风洞里空气的流速：
那么速度比值就是：
所以对于在风洞里的模型来说，风速需要达到在木星上的飞机的60.8倍才能弥补黏度与长度带来的影响。
在得到速度关系之后，将这对比例带入第二个派，就可以得到模型与实际的阻力比，空气的密度为1.29千克每立方米，二氧化硫的密度为2.63千克每立方米（其实这里并不严谨，这个数据应该是在常温常压下的密度，木星的温度与气压都与地球不同），阻力关系就可以表达为：
这个数字代表风洞中的模型受到的阻力是实际在木星上飞行器的0.22倍。
整点小例题
1. 众所周知，功率等于电压乘以电流，功率的单位为焦耳每秒（焦耳的基本单位可由力乘距离得到，而力的单位则可由质量乘加速度得到），电流的单位为安培，试用基本SI units表示电压。
2. 现有一个三比一的水泵模型具有以下参数：
-转速 900转每分钟（量纲可以看作s-1）
-泵直径 125毫米
-泵压 三米水柱
-水流速度 一立方米每秒
-功率 一百瓦
已知密度也与相似性有关，请求出真实水泵在300转每分钟时的水流量和功率。
