一道经典几何最值题的几何法与代数法

题目：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，P为其内部一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求BC的取值范围.

这是一道非常经典的几何最值题目，本文将介绍两种几何法和一种代数法. 解法一：(利用矩形经典结论) 如图，将Rt△ABC补全为矩形ABCD，连接AD，PD.

矩形结论：AP²+DP²＝BP²+CP²，代入数据可得：DP＝2√3 △APD中，由三角形三边关系得：DP-AP≤AD≤DP+AP，即：2√3－1≤AD≤2√3+1. 又∵BC＝AD， ∴BC的取值范围是[2√3－1，2√3+1] 方法二：(利用三角形中线长定理) 如图，分别取BC、AP中点O，M，连接OM，AP，PO.

由三角形中线长定理得：OP²＝1/4(2OA²+2PC²-AP²)＝13/2-1/4BC² ∵BC＝2OA，∴OP²+OA²＝13/2，OM＝1/4(2OA²+2OP²-AP²)＝3，即OM＝√3. △AOM中，由三角形三边关系得：OM-AM≤AO≤OM+AM，即：√3-1/2≤AO≤√3+1/2 ∴2√3-1≤BC≤2√3+1 故BC的取值范围是：[2√3－1，2√3+1] 方法三：(向量+柯西不等式) 设→PA＝a，→PB＝b，→PC＝c，记＝α，＝β，则＝360°-(α+β)，→BA＝a-b，→CA＝a-c.，→CB＝b-c ∵∠BAC＝90° ∴→AB · →AC＝(b-a)·(c-a)＝0 即：a²-a·c-ab+b·c＝0 1-3cos(α+β)-2cosβ+6cosα＝0 整理得：cosβ(-3cosα-2)+sinβ·3sinα＝-6cosα-1 两边平方得：(-6cosα-1)²＝[cosβ(-3cosα-2)+sinβ·3sinα]² 由柯西不等式得：(-6cosα-1)²＝[cosβ(-3cosα-2)+sinβ·3sinα]²≤ (cos²β+sin²β)[(-3cosα-2)²+(3sinα)²] 解得：－√3/3 ≤ cosα ≤ √3/3. |b-c|＝√(b²+c²-2bccosα)＝√(13-12cosα) ∵－√3/3 ≤ cosα ≤ √3/3 ∴13-4√3 ≤ 13-12cosα ≤ 13+4√3 ∴2√3-1≤丨b-c丨≤ 2√3+1. 故BC的取值范围是：[2√3－1，2√3+1] 大家还有其他的方法吗，欢迎讨论交流………