【初中数学-几何】基本不等式和根据韦达定理构造方程在初中几何题中的简单运用

2022-04-29 11:11 作者:Rotas-math_lover 0人读过 | 我要投稿

一.基本不等式及其简单证明

基本不等式常见形式为： $a%2Bb%5Cgeq%202%5Csqrt%7Bab%7D$

记忆方法：和定积最大，积定和最小

证明很简单，因为 $(%5Csqrt%7Ba%7D-%5Csqrt%7Bb%7D)%5E2%5Cge%200$ ，左边展开可得 $a%2Bb-2%5Csqrt%7Bab%7D%5Cge%200$ ，移项即得

注意到 $a%2Bb$ 和 $ab$ 在二次方程的韦达定理也有体现，所以本篇文章还会顺带给出题目构造二次方程的解法，供不知道的同学学习

二.例题

要用均值不等式，显然要把 $MN$ 拆成两部分，并且要能求到这两部分的乘积

因此，我们可以考虑过点 $P$ 作 $MN%0A$ 的垂线

根据 $P$ 为中点不难计算得出 $PG%3D%5Csqrt%7B5%7D$ ，再根据射影定理可知 $GM%C2%B7GN%3DPG%5E2%3D5$ ，因此，就有 $MN%3DGM%2BGN%5Cge%202%5Csqrt%7BPG%7D%3D2%5Csqrt%7B5%7D$ ，当且仅当 $GM%3DGN$ 时成立

所以 $MN_%7Bmin%7D%3D2%5Csqrt%7B5%7D$

再来讲一下构造二次方程的解法

这里我们知道了 $GM%C2%B7GN%3D5$ ，不妨设 $GM%3Da$ ， $GN%3Db$ ，因此 $ab%3D5$

我们再设 $MN%3Da%2Bb%3Dp$

则 $a%E3%80%81b$ 可以看作是 $x%5E2-px%2B5%3D0$ （这里看不懂的话可以把这个方程的两根关系写一下）

有因为 $a%E3%80%81b$ 恒存在，即这个方程一定有两个根，所以有 $%5CDelta%5Cge0$ ，从而得到 $p%5E2%5Cge20$ ，所以 $p%5Cleq-2%5Csqrt%7B5%7D$ 或 $p%5Cge%202%5Csqrt%7B5%7D$ ，而 $p%3E0$ ，所以 $p%5Cge%202%5Csqrt%7B5%7D$