讲座笔记: 如何在数学课程中拿A
背景
最近教了100多个本科一年级的学生, 发现他们最大的需求就是在数学课程中拿A, 最好全都是A
我回顾了之前所有的讲座, 发现讲了读书, 怎么写讲义, 怎么变得自信, 怎么未雨绸缪, 怎么调整认知偏差, 偏偏没有讲怎么在数学课程中拿A
这大概是因为我觉得这是最不重要的因素. 因为一个人要长期学好数学, 只拿一堆A是没有用的. 必须有强烈的数学学习兴趣并且有极强的自学能力.
但是我发现对大多数学生来说, 这是最贴近现实的需求.
实际上这也是很有道理的, 因为首先先要搞定课内的学习, 然后才能谈超前学习法或者更精巧更高级的学习方法.
我在本科阶段几乎所有课(包括数学以外的课)都是A+, 再不济也是A或者A-, 所以成绩单非常好看, 所以能直博. 有一些小小的经验和大家分享.
我也发现很多高年级的课只靠小聪明是不行的. 因为内容很多, 而且相关性比较少. 比如复分析的内容和组合的内容, 至少在本科阶段是没有什么交集的, 它们又和抽代的交集不多(在本科阶段). 所以基本上有多少课就要学多少课的新知识. 再加上本科要上的课还是很多的, 所以不能把所有时间拿来学一节课, 而必须要同时学好很多课. 要同时学好很多课, 就必须找对方法, 就必须用最高的效率学习, 因为还需要留出时间给其他课, 还需要留出时间休息.
五个步骤: 预习, 听课, 总结, 练习, 复习.
预习
在学期开始之前, 就向老师询问这学期使用的教科书, 推荐的习题册. 这样就可以比其他人先一步开始学习. 因为教科书的内容是固定的, 老师再怎么发挥, 也一定是基于书本的. 如果在上课之前已经很熟悉书本的内容了, 听课就会容易很多.
在每一节课上课之前, 或者在前一节课下课以后, 最聪明的学生一定会知道下一节课的范围, 或者会直接去问老师下一节课大概讲什么. 根据这个范围, 在上课前完成预习. 预习的标准是要做到”眼熟”. 这些概念/定理, 一看就是看过的. 如果能快速背下来就更好了. 对于证明, 不需要完全看懂, 但是最基本的证明思路要能理解. 这样的话在上课的时候, 很多同学完全没有学过这些定义, 完全没有看过证明, 就不容易跟得上. 但是你就很容易跟得上, 有更多时间可以记笔记和思考. 在别人都在记笔记的时候, 老师一定会等他们, 这个时候你可以思考, 这个过程就是加深记忆的最佳时机. 在很多情况下, 这个时候还会有多余的时间, 就可以做一些简单或中档的题.
听课
听课之前应该做好预习了. 那么上课应该有大部分内容是熟悉的. 不过要注意, 通过预习可能会知道结论, 但是不熟悉这个结论是怎么来的. 不能当做理所应当, 应该认真听讲, 或者有时间的话自己在课上独立推导出一些结论.
我从很多优秀的学生那里听来一个通用的方法, 那就是上课的时候尽量少记笔记. 因为只要记笔记, 人就容易不思考. 其实上课前如果预习过了的话, 听课的时候可以迅速把讲的内容对应到书上, 也就不需要记了 (因为老师多半不会讲新的证明方法). 上课最好的地方就是老师会讲他是如何理解这个证明的, 他会讲是如何一步一步推出这个证明的. 换言之, 其实上课的目的是作为看书的补充, 上课是听老师帮你补一些证明的细节, 还有讲一些知识的联系, 或者帮你整理一下证明思路. 上课如果记很多笔记, 其实没什么用, 大部分笔记的内容都可以在书里找到. 上课最主要是集中注意力学会这些知识.
总结
大部分人不会做的一件事情就是总结/概括/summary. 总结的目的是定期地整理自己在一节课中所学的所有概念/性质/定理/证明方法, 也可以整理自己所做的题/解题思路. 我一般建议一周总结一次. 因为每周末都会有休息的时候, 这个时候大部分人都会慢慢忘记一周学的知识. 巩固一下知识以后, 就可以真正地把知识变成自己的东西. 可以认为, 总结是把所学的东西用自己的语言重新说一遍的过程. 因为是自己的语言说的, 所以会感觉更亲切, 也会记得更牢. 而且在这个过程中, 可以按照自己的理解顺序重新编排顺序.
总结可以发给同学, 可以发给老师. 这样最大的好处就是如果你给了老师两周, 你第三周如果不给的话就会感觉很不好意思. 所以你可以”fake it until you make it”. 一上来就说”老师, 我这个学期每周都会整理笔记, 你可以分享给其他同学.” 接下来, 每周要做的事情就是信守承诺. 而且通过这个方法, 你会发现自己与众不同, 会格外有自信心, 所以在心理上也可以让自己更容易成功.
练习
或许大家都会写老师布置的题, 但是有少部分人会做额外的题. 实际上, 这额外做的题不需要特别多, 只需要每天多做1-2小时的题, 就可以显著地拉开和其他同学的差距. 这些题的主要来源是老师布置的习题, 推荐的习题, 教科书后的习题, 以及与课堂材料类似的材料的习题. 按照这个顺序做题下来, 就会越来越熟悉概念和解题技巧.
很多人做题不会整理. 其实题目和知识点是一体的. 学完了知识点, 没有题目作为巩固是很可惜的. 而且将来如果遇到一个题目, 知识点都看得懂, 思路是一点都没有, 就说明当初在学习的时候就没有好好做题.
复习
复习一般是在期中/期末考试前做的. 如果前面都做到的话, 需要做的事情仅仅是把所有的概念和定理记下来, 做一些考前复习题再稍作整理, 最后做几次模考. 再难的课都可以用这种方法复习. 一般来说, 这样的复习也不需要特别长时间, 基本上一节课3-5天足够了. 在极限情况下, 其实一天就够了, 但是必须思路非常清楚, 哪些东西是必要的, 哪些东西是不必要的. 考试不必要的东西完全不要看. (当然这只是为了应试, 考完试以后还应该继续学习)
考试以后是总复习的最佳时机. 因为这个时候是你对一学期所积累的知识记得最清楚的时候. 绝大多数人考完试就会马上把自己学的东西还给老师. 但是聪明的学生就会在这个时候再做一次总结, 尽可能快地把一学期学过的所有东西都记下来. 这份材料对于初学者是很有帮助的, 当然对于未来的自己也是很有帮助的(对自己总是最有帮助的).
学生的差距在哪里?
用心程度
同样上一节课, 能听进去多少. 同样很累了, 能坚持多久. 同样作业很多, 能做出多少题. 同样是做题, 思考有多认真. 用不用心, 自己是最清楚的.
目标感
如果知道这节课的意义, 就会更容易学好, 也更容易坚持. 如果这门课对自己的未来有直接好处, 比如将来自己的工作很有可能会用到这些知识, 那么当然应该学好. 如果将来的学习/科研/工作需要这门课作为前置知识, 那么也更容易坚持下来吧. 如果不知道为什么而学, 也可以给自己创造一些目标感, 比如”我不想被很多同学超越, 我想要始终是最优秀的学生”, 比如”我喜欢这个老师, 所以我能学好”, 比如”我身边的人都很认真, 所以我也要加油才行啊”, 比如”我身边的人都不认真, 我只要比他们更努力一点就能学好吧”. 用积极的方法来对待所有的事情, 就会让自己更容易学好.
超前学习法
同样学一节课. 如果有的人几年前就学过了, 他当然很有可能会学得更好. 所以长期有效的方法就是超前学习法. 在自己确保这节课可以取得一个很好的成绩以后, 就应该把时间花在其他功课上, 战略性减少在这节课上的时间. 因为如果追求完美的话, 任何一节课都不可能在学的时候就做到完美, 任何一门功课都是要一遍一遍地学, 看不同的书, 深度地思考, 以至于做出原创性的研究, 才可以趋于完美. 对于学生而言, 更多的时候是要做到”充分优秀”, 而不是”最优秀”, 因为后者的风险非常大, 很多学生其实没有能力承担这个风险.
