近年越来越"离谱"的正余弦定理化简，从基础到进阶！

正余弦定理化简代数式

一、复习

二、只含有角的化简

1、2B→B（三角恒等变换）

2、约分，交叉相乘化简

3、再次用到三角恒等变换

4、A+B+C=π

三、只含有边的化简

（1）只有两条边的式子：a²-ab-2b²=0

因式分解：（a-2b）（a+b）=0

∵a，b是边，均大于0，所以a+b不可能=0，那么就是a-2b=0，∴a=2b

（2）有三条边：边化角（正弦、余弦）

注：齐次用正弦定理，若做着做着感觉难受写不下去，立刻换余弦定理试试

2bcosA=c-b

这里不要把cosA再化为角，因为原本就是由边化成cosA的，这里要把边化成角

2sinBcosB=sinC-sinB

三个角，消掉一个角

sin（π-θ）=sinθ

将sin（A+B）展开，移项化简

两个角的sin值相等有两种情况：

1、角相等

2、两角互补

所以要分类讨论

四、边角多条件混合的化简

（1）前面这一大坨式子里先处理一下角，因为先得出c=2bcosB，所以将sin²B化为cos，就等于1-cos²B

∵化出的式子里边多，所以把cos化为边，利用第一步得到的c=2bcosB把长式子里的cos²B代换，化简

算出了C，但题目要求的是B,根据sinC=sin2B

算出两个B，但是因为C已经是120°了，所以B不可能为60°

（2）这题不要展开，因为C=π/6，所以可将括号里的π/6替换，变为sin（A+C），再变为sinB

这里如果将边化为角的话，得到的都是sin²A和sin²B

注：这种情况一般都难以用三角恒等变换化简这个式子，最后还是要化成边来算，所以不如一开始就把式子化成边

化为边的式子只有两条边，因式分解！

（3）整个式子需要注意的地方有R,tanA,S

R可以考虑用正弦定理

tanA一定要化成sinA/cosA

S有三个公式

得到的式子里边比角多，所以把cosA化成边，用余弦定理，得到2R²=a²，那么这里就用a=2RsinA把R换掉