就一有关数列 之结论证明
s1，s2为方程
c·x²+(d-a)x-b=0
的根
有
s1+s2=(a-d)/c
s1s2=-b/c
即
(ad-bc）
/(a-cs2）²
=(a²-ac(a-d)/c-c²·b/c）
/(a-cs2）²
=(a²-ac(s1+s2)+c²·s1s2）
/(a-cs2）²
=(a-cs1）(a-cs2）/(a-cs2）²
=(a-cs1）/(a-cs2）
有
c·s2²+(d-a)s2-b=0
即
b-s2d=-as2+s2²c
即
(b-s2d）/(a-s2c）
=-s2
a(n+1)
=(a·an+b)/(c·an+d）
即
a(n+1)-s2
=((a-s2c）an+(b-s2d）)/(c·an+d）
即
1/(a(n+1)-s2）
=(c·an+d）
/((a-s2c）an+(b-s2d）)
即
1/(a(n+1)-s2）
=(c·an+d）/(a-s2c）
/(an+(b-s2d）/(a-s2c）)
即
1/(a(n+1)-s2）
=(c/(a-s2c）(an+(b-s2d）/(a-s2c））
-c(b-s2d）/(a-s2c）²
+d(a-s2c）/(a-s2c）²）
/(an+(b-s2d）/(a-s2c）)
即
1/(a(n+1)-s2）
=(ad-bc）/(a-s2c）²
/(an+(b-s2d）/(a-s2c）)
+c/(a-s2c）
即
1/(a(n+1)-s2）
=(a-cs1）/(a-cs2）
/(an-s2)
+c/(a-s2c）
若s1=s2
即(a-cs1）/(a-cs2）=1
即
1/(a(n+1)-s1）
=1/(an-s1)+c/(a-cs1）
即
1/(a(n+1)-s1）-1/(an-s1)
=c/(a-cs1）
即
｛1/(an-s1）｝
为公差为
c/(a-cs1）
的等差数列
若s1≠s2
1/(a(n+1)-s2）
=(a-cs1）/(a-cs2）
/(an-s2)
+c/(a-s2c）
即1/(a(n+1)-s2）
=((a-cs1）/(a-cs2）/(an-s2)
+(((a-cs1）-(a-cs2））/(a-cs2））/(s2-s1)）
即1/(a(n+1)-s2）+1/(s2-s1)
=((a-cs1）/(a-cs2）/(an-s2)
+(a-cs1）/(a-cs2）/(s2-s1)）
即1/(a(n+1)-s2）+1/(s2-s1)
=(a-cs1）/(a-cs2）
(1/(an-s2)+1/(s2-s1)）
即1/(a(n+1)-s2）+1/(s2-s1)
/(1/(an-s2)+1/(s2-s1)）
=(a-cs1）/(a-cs2）
即｛1/(an-s2)+1/(s2-s1)｝
即｛(s2-s1)/(an-s2)+1｝
即｛(an-s2+s2-s1)/(an-s2)｝
即｛(an-s1)/(an-s2)｝
为公比为
(a-cs1）/(a-cs2）
的等比数列
得证
