拉格朗日中值公式给出了函数增量Δy的精确表达式

牛顿385、拉格朗日中值公式给出了函数增量Δy的精确表达式

 

拉格朗日中值定理（百度百科）：…

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…拉格朗日中值定理：见《牛顿376~384》…

 

定理表述

 

如果函数f（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导；

那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b）使等式f（b）-f（a）=f’（ξ）（b-a） 成立。

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…连、续、连续：见《欧几里得44》…

…可导：若f（x）在x0处连续，则当a趋向于0时，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在极限，则称f（x）在x0处可导…见《牛顿360》…

…ξ：大写Ξ，小写ξ，是第14个希腊字母，中文音译：克西。

小写ξ用于：数学上的随机变量…

 （“a=x，b=x+△x时，就变成了下面这种形式。”现代学者说。）

拉格朗日中值定理的其他形式

…形、式、形式：见《欧几里得13》…

 

记ξ=x+θ△x（0＜θ＜1），则有

△y=f（x+△x）-f（x）=f’（x+θ△x）·△x=f’（ξ）△x（0＜θ＜1）

上式称为有限增量公式。（“上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的精确表达式，因此也叫有限增量公式。”现代学者说。）

…θ：第8个希腊字母。大写Θ，小写θ。音标/'θi:tə/，英文theta，汉语名称西塔…

…△：读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。

在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等…见《牛顿8》…

 我们知道函数的微分dy=f’（x）△x是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；

而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的精确表达式，这就是该公式的价值所在。

 

[如果函数的增量Δy=f（x + Δx）—f（x）可表示为Δy= AΔx+o（Δx）（其中A是不随Δx改变的常量，但A可以随x改变），而o（Δx）是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f（x）在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。

…o：英文名Omicron（大写Ο，小写ο），是第十五个希腊字母。

小写ο用于：高阶无穷小函数…

（…阶，无、穷、无穷，小，无穷小，高阶无穷小：见《牛顿280~282》…）

 

函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。

 

通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。于是函数y=f（x）的微分又可记作dy=f'（x）dx。

——《牛顿331》]

“怎么通俗地理解有限增量公式？——网友提问

请看下集《牛顿386、怎么通俗地理解有限增量公式？》”

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