《几何原本》命题3.10【夸克欧氏几何】

命题3.10：

如果两圆相交，那么其交点不多于两个

已知：圆ABC，圆DEF，两圆相交

求证：圆ABC，圆DEF交点不多于两个

解：

假如圆ABC，圆DEF交点多于两个,

设圆ABC，圆DEF交于点B，G，F，H

连接BH，BG

（公设1.1）

作BH中点K

（命题1.10）

过点K作AC⊥BH

（命题1.11）

作BG中点L

（命题1.10）

过点L作NO⊥BG与AC交于点P

（命题1.11）

证：

∵圆ABC中，点K是BH中点，AC⊥BH

（已知）

∴圆ABC的圆心在AC上

（命题3.1推论）

∵圆ABC中，点L是BG中点，NO⊥BH

（已知）

∴圆ABC的圆心在NO上

（命题3.1推论）

∵AC，NO交于点P

（已知）

∴点P是圆ABC的圆心

同理可证点，P是圆DEF的圆心

∴圆ABC,圆DEF相交且有共同的圆心，这是不可能的

（命题3.5）

证毕

此命题将在命题3.24中被使用