微分的实际意义：计算复杂函数的微小变化量

牛顿329、微分的实际意义：计算复杂函数的微小变化量

 

微分到底是什么意思？实际意义是什么？——网友提问

…微、分、微分：见《牛顿321~327》…

…意、义、意义：见《欧几里得26》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

Alphacalculus（发布于 2016-11-30，210人赞同了该回答）：

 

一个复杂的函数，自变量有微小的变化量，比如0.003，求函数的变化量是多少，也就是求函数的微分。

…复、杂、复杂：见《欧几里得133》…

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…量：见《欧几里得27》…

…自变量：见《牛顿43》…

 

微分就是微小的部分，微小的变化量；复杂函数意味着里面可能有x^2，ln x，…等很难计算的函数，所以通过导数求出微分。

…^：乘方…

…x^2：x的平方…

…导、数、导数：见《牛顿288~294》…

 

比如函数y=x^2，导数dy/dx=2x，dy=2xdx，△y=2x△x，在x=2时，代入△x=0.003就能计算出此时函数的微小变化量。

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

 

精选评论：

2020-11-06，小妖君：这才是真正的回答者，上面那些炫技的说到底还是自私。（9赞）

Kuiper（编辑于2018-11-22，15人赞同了该回答）：

微分是一个小量，具体可视为一个小常量、或一个具有无穷小性的小变量。

…具、体、具体：见《牛顿123》…

…常、量、常量：见《牛顿64》…

…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280》…

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

…变、量、变量：见《欧几里得29》…

 

无穷小是量的一种性质而非量本身，要尽量说某变量具有无穷小性，而非某量是无穷小量。

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

 

微分小量一般是小常量，只在考察其具有的“无穷小性”时才将其视为变量。

 

[已注销]（编辑于2020-11-02，22人赞同了该回答）：

总感觉高赞说的都不是人（小学生能看懂的）话，都是长篇大论的文言文，都不是我想要的答案。

这种问题对于初学者最好的回答就是，能用最简单的几句话，一个例子，就能让对数学一窍不通，一点不懂的人，一眼就都能明白微分是干啥的，我为啥要学，学了它能干啥。

…简、单、简单：见《伽利略13》…

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

 

碰巧看到了一段用人话说明微分意义的片段，附上来分享一下：

…说、明、说明：见《欧几里得149》…

 

微分可以得知函数在某个点的斜率，也可以了解函数在瞬间的变化。

…斜、率、斜率：见《牛顿289》…

…变、化、变化：见《伽利略10》…

（…《伽利略》：小说名…）

 

只这么说可能不太好理解，我们来看一个具体的例子。

请想象一下开车行驶在大街上的场景。

设横轴为经过时间、纵轴为行驶距离，那么下图应该可以表现二者的关系。

…关、系、关系：见《欧几里得75》…

从图中可以看出，车辆在40s内大约行驶了120m，所以用下述表达式可以很快地计算出这一期间的行驶速度。

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

…速、度、速度：见《伽利略3》…

120m/40s=3m/s

 

不过这是平均速度，车辆并没有一直保持3m/s的速度。

从图中也可以看出，车辆在刚发动时速度较慢，缓缓前进，而在因红灯而停止时速度变为0，完全不动了。

就像这样，一般来说各个时间点的瞬时速度都取值不同。

 

刚才我们计算了40s内的速度，为了求出“瞬间的变化量”，我们来渐渐缩小时间的间隔。

看一下图中10s到20s的情况。

这一期间车辆跑了大约60m，所以可以这样求出它的速度。

60m/10s=6m/s

 

这与求某个区间内图形的斜率是一回事。

使用同样的做法，接着求10s和11s之间的斜率，进而求10.0s和10.1s之间的斜率。

逐渐缩小时间的间隔，最终就可以得出10s那一瞬间的斜率，也就是速度。

像这样缩小间隔求斜率的方法正是微分。

…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

“希腊时代的阿基米德（Archimedes）已经懂得用无穷分割的方法正确地计算一些面积，这跟现代积分的观念已经很相似。

由此可见，在历史上，积分观念的形成比微分还要早——这跟课程上往往先讨论微分再讨论积分刚好相反。

请看下集《牛顿330、微分的历史》”

若不知晓历史，便看不清未来

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