有理数集内既约多项式判别法(以二为模)

对于形如下图的多项式：

我们可以用对二取模的方法判断其是否为有理数集内的既约多项式(本文中仅说明有理数集内的情况)。

首先,如果这个多项式不是既约多项式,则它必定有因式,且完全因式分解后,其因式必定都为既约多项式。所以,我们只要判断其是否有不少一个的既约因式。我们需要判断任意不小于n/2次的既约因式(因为如果其存在一个最高次为q次的因式。q>n/2时,那么必有另一个最高次为n-q次的因式,而n-q<n-n/2=n/2;q<n/2时,易得)是否为其因式。

下面,同时对这个多项式与所有最高次不大于n/2的既约多项式的系数对二取模,现在,只需证明对二取模后的多项式是否能被所有对二取模后的最高次不小于n/2的既约因式整除即可(后面都为以二为模的运算),

可以得到,一次的既约多项式有:x、x+1,二次的有:x²+x+1。举个例子:
如要证明x³+3x²+4x+1为既约多项式,则对二取模,为:x³+x+1,而n/2为3/2,所以只要验证其是否具有一次既约因式。对其进行变化:x³+x+1⇒x(x²+1)+1⇒x(x+1)²+1(因为是对二取模的运算,所以x²+1等价于x²+2x+1(一次项系数在以二为模的运算中等价于0)也就等于(x+1)²),显然,x、x+1都不能整除它,不是它的既约因式,从而x³+x+1是既约多项式,即原式为既约多项式。

再举一例：证明x⁶+x³+1是既约多项式。

x⁶+x³+1⇒x³(x+1)(x²-x+1)+1⇒x³(x+1)(x²+x+1)+1(注意,正负号在此运算中是同一的)

所以,x、x+1、x²+x+1都不是其因式,接下来,只需证明其无三次(n/2=3)既约因式。将x³+x+1、x³+x²+1对其长除法,即可得x³+x+1、x³+x²+1也不是其因式,故原式为既约多项式。

(以上均为初中小蓝本因式分解12.2奇与偶的详细分析)