我的一道智力题

下面这道题我相信全世界有99%的人答不出来，看看你是否属于能答出来的这1%的人。

已知有A、B两款手机，其中A、B两款手机均若干个，小冰和小水都只能各有一款手机；可小冰不允许两个随便选，只能做出以下策略：有一个绿箱和一个白箱，绿箱里装的全是绿球，白箱里装的全是白球。绿球编号有13,17,10,15；白球编号有12,18,19,11。小冷给小冰和小水抽箱里的球，每次都从绿箱和白箱里各抽出一个球。抽出的积为完全平方数的话，A、B两款手机就分别给小冰和小雪，抽出的积不为完全平方数的话，A、B两款手机就分别给小雪和小冰（每算出一个积后只能给小冰和小雪各一个手机）。问：（1）列出全部可能。（2）这个策略公平吗？若公平，则请给出依据；若不公平，则更改绿球和白球中的各1个编号，让这个策略公平（编号不能有重复）。

（1）根据题意，我们可以给原问题扩句，这样就变成了“请列举出全部的可能。”，列举的对象是球的编号及其和，根据“可能”，我们可以进一步想到“可能性”。故该问答案如下（我把被加数当做绿球的编号，加数当做白球的编号）：

13*12=156        18*12=216        10*12=120       15*12=180

13*18=234        18*18=324       10*18=180        15*18=270

13*19=247        18*19= 342       10*19=190        15*19=285

13*11=143         18*11=198        10*11=110        15*11=165

（2）在判断是否公平之前，我们来看看哪行的和都没有完全平方数，哪列的和没有完全平方数？找到了吗？找到了：第1、3、4行的和没有完全平方数，第1、3、4列的和没有完全平方数。这就可以说明不公平，但到底怎么不公平，还是要在答语中描述。利用移多补少的原理来改编号。如果从第1行或第4行，第1列或第4列改的话，就有9个完全平方数，那么就要从第2行或第3行，第2列或第3列改，但我们发现两个都改整数的话怎么都没办法，唯一的办法就是一个改成0，一个改成根号下0！故该问答案如下（更改这次我省略了）：

13*12=156              18*12=216                    根号下0*12=0              15*12=180

13*18=234              18*18=324                    根号下0*18=0              17*18=270

13*根号下0=0         18*根号下0= 342         根号下0*0=0                15* 根号下*0=0

13*11=143              18*11=198                    根号下0*11=110          15*11=165

答：根据（1）列的可能可知，因为有16种可能，其中积为完全平方数有1种，其余可能都不为完全平方数，所以P（积为完全平方数）=1/16，P（积不为完全平方数）=1-1/16=15/16，又因为1/16不等于15/16，所以不公平。根据（2）列的可能可知，把绿球编号10改成编号根号下0，把白球编号19改成0可以使这个策略公平。因为有16种可能，其中积为完全平方数有8种，积不为完全平方数有8种，所以P（积为完全平方数）=1/2，P（积不为完全平方数）=1/2，又1/2=1/2。

如果你是在答不出来这道题的99%的人群里，那么说明你不会设计一个游戏的公平性，甚至你不会将一个不公平的游戏进行更改，使得该游戏公平。这道题告诉大家，对于任何游戏，有几个玩家，就应该让这个游戏每人胜利的概率都是几分之一，这样才公平。其实这道题在（1）中并不难，难的还在（2）；（1）中只是换个问法，（2）中这样的问法大家在平时做题和考试的时候都几乎碰不到，这时大家可能会一个一个的随便假设地换，使得永远也答不出来，找不到我在解答（2）时找到的解题技巧。