不自量力 -- 线性谐振子

2021-10-19 12:52 作者:nyasyamorina 0人读过 | 我要投稿

在上古时期, 曾经在一篇专栏里说过粒子能量分立是因为求解 S-L 问题必定会出现分立值. well, 不能说完全错, 但是这是在数学上的解释, 完全没有给出物理意义.

实际上, 以前的我是完全没有学过量力的. 现在努力恶补了一下, 发现能量分立的物理意义还是非常强的.

在求解定态薛定谔方程时, 会出现两个代表"能量"的量: 环境势能 U 和粒子自身的能量 E. 当粒子能量小于环境在无穷远处的势能, 即 $E%3C%5Clim_%7Br%5Crightarrow%5Cinfty%7DU$ 时, 粒子如果出现在无穷远处, 代表粒子需要穿过无穷厚的并且能量比自身大的势垒, 这显然是不可能的. 也就是说这时候粒子被限制在有限的空间内 ---- 如同一根琴弦, 被限制时只能以特定谐波震动 ---- 粒子也被限制成特定的震动模式, 而这些模式是可以分别计算出能量的, 如此造成了粒子的能量分立.

在经典力学里, 质点在平衡位置 x₀ 处做微小震动时, 势能可以展开为

$U(x)%3DU(x_0)%2BU'(x_0)(x-x_0)%2B%5Cfrac%7BU''(x_0)%7D%7B2%7D(x-x_0)%5E2%2B%5Ccdots$

对坐标进行变换, 重新设定零势能点, 则在平衡位置附近的势能可以表达为 $U%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Comega%5E2x%5E2$ , 其中 x 是偏离平衡位置的位移, m 是质点质量, ω 是震动频率. 那么这个质点体系被称作线性谐振子.

类似地, 在量子力学里, 粒子处于相同势场里也被称作线性谐振子.

不难知道, 线性谐振子的定态薛定谔方程为 $%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cpsi%7D%7Bdx%5E2%7D-%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Comega%5E2x%5E2%5Cright)%5Cpsi%3DE%5Cpsi$ . 其中 ψ 是描述粒子的波函数, E 是粒子的能量. 根据上面说到能量分立的原因, 在无穷远处势能为无穷大, 所以粒子的能量也必定至无穷大都是分立的. 不过就算不知道能量分立的物理原因, 接下来的数学推导也会很自然地把能量限制在特定值上.

为了书写方便, 设 $%5Calpha%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bm%5Comega%7D%7B%5Chbar%7D%7D%2C%5C%3B%5Clambda%3D%5Cfrac%7B2E%7D%7B%5Chbar%5Comega%7D%2C%20%20%5Cxi%3D%5Calpha%20x$ , 那么定态方程可以重写为 $%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cpsi%7D%7Bd%5Cxi%5E2%7D%2B(%5Clambda-%5Cxi%5E2)%5Cpsi%3D0$ .

在无穷远处, λ 的值小得可以忽略, 则定态方程变为 $%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cpsi%7D%7Bd%5Cxi%5E2%7D%3D%5Cxi%5E2%5Cpsi$ , 解得 $%5Cpsi%3De%5E%7B%5Cpm%5Cxi%5E2%2F2%7D$ . 其中幂系数为正的解不符合波函数的有限性, 所以可以波函数为 $%5Cpsi(%5Cxi)%3DH(%5Cxi)e%5E%7B-%5Cxi%5E2%2F2%7D$ , 其中 H 是未知的函数. 把波函数代入定态方程可以得到关于 H 的微分方程 $%5Cfrac%7Bd%5E2H%7D%7Bd%5Cxi%5E2%7D-2%5Cxi%5Cfrac%7BdH%7D%7Bd%5Cxi%7D%2B%5Cleft(%5Clambda-1%5Cright)H%3D0$ .

关于 H 的解法稍微有点复杂, 有心无力的可以直接跳过这部分看下面. 但数学上产生能量分立的原因就在 H 里, 所以还是不推荐跳过的.

以级数解 H, 设 $H(%5Cxi)%3D%5Csum_%7B%5Cnu%3D0%7D%5E%5Cinfty%20a_%5Cnu%5Cxi%5E%5Cnu$ . 那么有 $%5Cfrac%7BdH%7D%7Bd%5Cxi%7D%3D%5Csum_%7B%5Cnu%3D0%7D%5E%5Cinfty(%5Cnu%2B1)a_%7B%5Cnu%2B1%7D%5Cxi%5E%5Cnu$ 和 $%5Cfrac%7Bd%5E2H%7D%7Bd%5Cxi%5E2%7D%3D%5Csum_%7B%5Cnu%3D0%7D%5E%5Cinfty(%5Cnu%2B2)(%5Cnu%2B1)a_%7B%5Cnu%2B2%7D%5Cxi%5E%5Cnu$ . 代入关于 H 的微分方程里, 合并同类项得到

$%5Csum_%7B%5Cnu%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cleft((%5Cnu%2B2)(%5Cnu%2B1)a_%7B%5Cnu%2B2%7D-2%5Cnu%20a_%5Cnu%2B(%5Clambda-1)a_%5Cnu%5Cright)%5Cxi%5E%5Cnu%3D0$ . 注意到这是一个恒等式, 也就是说式子右边的系数恒等于0, 即 $(%5Cnu%2B2)(%5Cnu%2B1)a_%7B%5Cnu%2B2%7D-2%5Cnu%20a_%5Cnu%2B(%5Clambda-1)a_%5Cnu%3D0$ , 如此得到了系数的迭代式 $a_%7B%5Cnu%2B2%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cnu-%5Clambda%2B1%7D%7B(%5Cnu%2B2)(%5Cnu%2B1)%7Da_%5Cnu$ . 可以看到迭代式是隔项迭代的, 也就是说级数只与 a₀ 和 a₁ 有关.

当 ν 趋向无穷时, 隔项系数的比例为 $%5Clim_%7B%5Cnu%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Ba_%7B%5Cnu%2B2%7D%7D%7Ba_%5Cnu%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cnu%7D$ . 另外, 对 $e%5E%7B%5Cxi%5E2%7D$ 进行级数展开有 $%5Csum_%7B%5Cnu'%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B%5Cxi%5E%7B2%5Cnu'%7D%7D%7B%5Cnu'!%7D$ , 并且相邻两项系数的比例为 $%5Cfrac%7B%5Cnu'!%7D%7B(%5Cnu'%2B1)!%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cnu'%2B1%7D%5Coverset%7B%5Cnu'%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5CLongrightarrow%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cnu'%7D$ , 不难知道 2ν' = ν, 则 ν' 趋向无穷时相邻系数比为 2/ν. 这说明了在 ξ→∞ 时, H 的行为与 $e%5E%7B%5Cxi%5E2%7D$ 相似, 这明显不符合波函数的有限性.

所以 H 级数必须在某一项截断为多项式. 当 H 在第 n 项截断时, 系数迭代式有 $%5Cfrac%7B2n-%5Clambda%2B1%7D%7B(n%2B2)(n%2B1)%7D%3D0$ , 于是得到 λ = 2n + 1. 并且有, 如果n是偶数时, 奇数项系数必然为0, 因为奇数项的系数迭代式在n为偶数时永不等于0, 反之亦然. 把 H 在第n项截断的多项式称为 厄米(Hermite)多项式, 记为 Hₙ.

尽管到目前为止确定了 H 的行为, 但仍未给出 H 的准确表达式, 这是因为系数 a₀ 和 a₁ 仍然未确定. 实际上, 两个系数的取值是任意的, 因为波函数需要进行归一化, 当归一化时 a₀ 和 a₁ 自然会求出. 但通常是先假定 a₀ 和 a₁ 的值再求得归一化因子 N, 于是最后确定为 N a₀ 或 N a₁.

特别地, H 有迭代式 $H_%7Bn%2B1%7D(%5Cxi)%3D2%5Cxi%20H_n(%5Cxi)-%5Cfrac%7BdH_n%7D%7Bd%5Cxi%7D$ , 但是不知道为什么在我找到的资料里都没有这个式子.

这一段是给出 H 的通常表示方法, 不太感兴趣的可以直接跳过. 观察这个函数 $u%3De%5E%7B-%5Cxi%5E2%7D$ , 有 $%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bd%5Cxi%7D%3D-2%5Cxi%20u$ , 根据 Leibniz法则可以推导出 $%5Cfrac%7Bd%5E%7Bn%2B2%7Du%7D%7Bd%5Cxi%5E%7Bn%2B2%7D%7D%3D-2x%5Cfrac%7Bd%5E%7Bn%2B1%7Du%7D%7Bd%5Cxi%5E%7Bn%2B1%7D%7D-2(n%2B1)%5Cfrac%7Bd%5Enu%7D%7Bd%5Cxi%5En%7D$ . 根据递推法不难知道 u 的任意导数都可以表示为 u 与多项式 f 的乘积, 即 $%5Cfrac%7Bd%5Enu%7D%7Bd%5Cxi%5En%7D%3Du%5Ccdot%20f$ . 代入关于 u 的 n+2 阶导公式, 可以得到 $%5Cfrac%7Bd%5E2f%7D%7Bd%5Cxi%5E2%7D-2%5Cxi%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bd%5Cxi%7D%2B2nf%3D0$ . 设 λ = 2n + 1, 则左式与关于 H 的微分方程一致, 也就是说可以特别地设 H = f. 但为了满足数学家奇怪的爱好, 规定 $H%3E0%2C%5C%2C%5Cxi%5Crightarrow%2B%5Cinfty$ , 于是得到 H = (-1)ⁿ f. 整理得到 $H_n(%5Cxi)%3D(-1)%5Ene%5E%7B%5Cxi%5E2%7D%5Cfrac%7Bd%5En%7D%7Bd%5Cxi%5En%7De%5E%7B-%5Cxi%5E2%7D$ .

于是得到波函数的表达式 ψₙ(ξ) = Hₙ(ξ) exp(-ξ²/2), 最后需要对波函数进行归一化, 归一化因子 N 为 $%5Cfrac%7B1%7D%7BN%5E2%7D%3D%5Cint_R%5Cleft%7C%5Cpsi%5Cright%7C%5E2dx$ , 众所周知, 遇上积分直接放弃. 得到 $N_n%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cpi%7D2%5Enn!%7D%7D$ .

最后得到归一化的线性谐振子波函数 $%5Cpsi_n(x)%3DN_nH_n(%5Calpha%20x)e%5E%7B-%5Calpha%5E2x%5E2%2F2%7D$ , 和对应的能量 $E_n%3D%5Chbar%5Comega(n%2B0.5)$ , 其中 n 大于等于0.

另外, 线性谐振子的波函数是正交的, 并且是完备的. 表明函数簇 {ψₙ} 可以组成完整的函数空间, 即 {ψₙ} 是广义傅里叶变换的一组基. 按人话来说就是, 任意函数都可以展开为 ψₙ 的线性组合, 并且根据定态波函数的演化性质, 任意波函数在势场 0.5mω²x² 里的演化可以分解为谐振子的线性组合再进行演化. 即 $%5CPsi(x%3B0)%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20c_n%5Cpsi_n(x)%5CRightarrow%5CPsi(x%3Bt)%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20c_n%5Cpsi_n(x)e%5E%7B-iE_nt%2F%5Chbar%7D$ , 其中 $c_n%3D%5Clangle%5Cleft.%5CPsi%5Cright%7C_%7Bt%3D0%7D%2C%5Cpsi_n%5Crangle%3D%5Cint_R%5CPsi%5E*(x%2C0)%5Cpsi_n(x)dx$ 是任意波函数与第n个谐振子波函数的相关性.