二重积分

2023-06-08 21:08 作者:~Sakuno酱 0人读过 | 我要投稿

2011年数学2 第十三题

$%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7Bx%7D%5E%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%2B1%7Dxy%5Cmathrm%7Bd%7Dy%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

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先对 $y$ 积分

$%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D((%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%2B1)%5E2-x%5E2)%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

$%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D(1-x%5E2%2B1%2B2%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D-x%5E2)%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

$%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7Dx(1-x%5E2%2B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D)%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

变量代换规则

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D(1-x%5E2%2B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D)%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5E2$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D(1-x%2B%5Csqrt%7B1-x%7D)%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

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$x$ 变量代换为 $%5Csin%5E2x$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Csqrt%7B1-%5Csin%5E2x%7D%5Cmathrm%7Bd%7D%5Csin%5E2x$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5Ccos%5E2%7Bx%7D%5Csin%7Bx%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

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$%5Ccos%20x$ 代换为 $x$

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