为什么零多项式的次数定义为-∞？

考虑有理函数域k(T)，k(T)上的限制在k上后平凡但本身非平凡的非阿基米德离散绝对值只有T-adic绝对值|P/Q|:=s^-v(P/Q)和degree绝对值|P/Q|:=s^(degP-degQ)这两种。（实际上这两种赋值在Aut(k(T))作用下也是等价的。）将T-adic绝对值连续延拓到0我们得到v(0)=+∞；将degree绝对值连续延拓到0我们得到deg0=-∞。其中正负无穷为热带半环的极大极小元素。

另外注意多项式的次数还有另一种推广，即射影直线kP^1上的映射度deg(P/Q):=max{degP,degQ}-deg(gcd(P,Q))。此时映射度是0当且仅当P/Q为常值函数，特别的0多项式函数的映射度为零。所以并不是所有时候deg0都是取-∞最为方便，而是要视具体情况而定。