一元二次方程

（1）一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=0（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0）；

（2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；

（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法；

（4）一元二次方程的根的判别式：Δ=b-4ac.

当Δ＞0时＜=＞方程有两个不相等的实数根；

当Δ=0时＜=＞方程有两个相等的实数根；

当Δ< 0时＜=＞方程没有实数根，无解；

当Δ≥0时＜=＞方程有两个实数根.

（5）一元二次方程根与系数的关系：

若x，x是一元二次方程ax+bx+c=0的两个根，

那么：x+x=-b/a，x·x=c/a.

（6）以两个数x，x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x-（x+x）x+x·x=0.

二次函数

知识点1：二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果y=ax+bx+c（a，bc是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

y=ax+bx+c（a，bc是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于x=-b/2a对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线y=ax+bx+c与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

知识点2：二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）

（2）顶点式：y=a（x-h）+k（a，h，k是常数，a≠0）

（3）当抛物线y=ax+bx+c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax+bx+c=0有实根x和x存在时，根据二次三项式的分解因式ax+bx+c=a（x-x）（x-x），二次函数y=ax+bx+c可转化为两根式y=a（x-x）（x-x）。

如果没有交点，则不能这样表示。

知识点3：二次函数的最值

知识点4：二次函数的性质

1、二次函数的性质

2、二次函数y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）中，a、b、c的含义：

a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；

a<0时，抛物线开口向下。

b与对称轴有关：对称轴为x=-b/2a，c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）.

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的△=b-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当△>0时，图像与x轴有两个交点；

当△=0时，图像与x轴有一个交点；

当△<0时，图像与x轴没有交点。

圆

1、圆的有关性质

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。

由圆的意义可知：

圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。

就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。

能够重合的两个圆叫等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

二、过三点的圆

1、过三点的圆

过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心

定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。

2、反证法

反证法的三个步骤：

①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。

证明：设有两个以上是钝角

则两个钝角之和＞180°

与三角形内角和等于180°矛盾。

∴不可能有二个以上是钝角。

即最多只能有一个是钝角。

三、垂直于弦的直径

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。

推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

五、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。

六、圆的内接四边形

多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆

定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

七、直线和圆的位置关系

1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。

直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。

2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：

直线和圆相交＜=＞d＜r；

直线和圆相切＜=＞d＝r；

直线和圆相离＜=＞d＞r；

直线和圆相交＜=＞d＜r

例如：图中，直线与圆O相割，有：r＞d

直线与圆O相切，r＝d

直线与圆O相离，r＜d

八、切线的判定和性质

切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径

推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。

推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

例如图中，O为圆心，AC是切线，D为切点。

∠B＝90°，则有BC是切线。

OD是半径，OD⊥AC。

九、三角形的内切圆

要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切

∵分角线上的点到角的两边距离相等。

∴两条分角线的交点就是圆心。

这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。

和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。

十、切线长定理

经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。

切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

十一、弦切角

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。

弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。

推理如果两个弦切角所央的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

十二、和圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

十三、圆和圆的位置关系

若连心线长为d，两圆的半径分别为R，r，则：

1、两圆外离＜=＞d＞R＋r；

2、两圆外切＜=＞d=R＋r；

3、两圆相交＜=＞R－r＜d＜R＋r（R＞r）

4、两圆内切＜=＞d=R－r；（R＞r）

5、两圆内含＜=＞d＜R－r。（R＞r）

定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。

十四、两圆的公切线

和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。

十五、相切在作图中的应用

生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如下图：

十六、正多边形和圆

各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

定理：把圆分成n（n＞3）等分：

（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；

（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。

正n边形的每个中心角等于360°/n

正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。

十七、正多边形的有关计算

正n边形的每个内角都等于（n-2）180°/n

定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。

（3）弓形的面积

由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。

弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。

二十、圆柱和圆锥的侧面展开图

1、圆柱的侧面展开图

圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。

AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD，C’D’，…都叫圆柱的母线。

圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。

圆柱的两个底面是平行的。

圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中AB=高，AC=底面圆周长。

∴S侧面=2πRh

圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2R

R是圆柱底半径，h是圆柱的高。见图

（2）圆锥的侧面展开图

圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。

如图，把Rt△OAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。

旋转轴SO叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。

连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA’、…都叫圆锥的母线，母线长都相等。

圆锥的侧面展开图如图是一个扇形SAB

半径是母线长，AB是2πR。（底面的周长），所以圆锥侧面积为S侧面=πRL

图形的相似

知识点1：比例线段

知识点2：平行线分线段成比例

1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

格式：如果直线L1∥L2∥L3，AB＝BC，

那么：A1B1＝B1C1，如图

说明：由此定理可知推论1和推论2

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。

格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

格式，如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图

2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。

3、平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。

说明1：平行线分线段成比例定理可用形象的语言来表达。如图

说明2：的三种图形中这些成比例线段的位置关系依然存在。

4、三角形一边的平行线的判定定理。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

5、三角形一边的平行线的判定定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

6、线段的内分点：在一条线段上的一个点，将线段分成两条线段，这个点叫做这条线段的内分点。

7、线段的外分点：在一条线段的延长线上的点，有时也叫做这条线段的外分点。

说明：外分点分线段所得的两条线段，也就是这个点分别和线段的两个端点确定的线段。

知识点3：相似三角形

1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。

2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。

4、三角形相似的判定定理：

（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。

第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。

第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。

5、相似三角形的性质：

（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

（2）相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比。

说明：以上两个性质简单记为：相似三角形对应线段的比等于相似比。

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

说明：两个三角形相似，根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质。

6、介绍有特点的两个三角形

（1）共边三角形指有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形。

（2）共角三角形有一个角相等或互补的两个三角形叫做共角三角形。

（3）公边共角有一个公共角，而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三角形。

说明：具有公边共角的两个三角形相似，则公边的平方等于叠在一条直线上的两边的乘积。

锐角三角形函数

一、锐角三角函数：在直角三角形ABC中，∠C是直角，

1、正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA=a/c；

2、余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA=b/c；

3、正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA=a/b；

4、余切：把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=b/a.

说明：由定义可以看出tanA·cotA＝1（或写成tanA=1/cotA）

5、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数

说明：锐角三角函数都不能取负值。

0＜sinA＜1； 0＜cosA＜1

6、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

即sinA＝cos（90°-A）＝cosB；cosA＝sin（90°-A）＝sinB

7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

即tanA＝cot（90°-A）＝cotB；cotA＝tan（90°-A）＝tanB

说明：式中的90°-A=B。

8、三角函数值的变化规律

（1）当角度在0°— 90°间变化时，正弦值（正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

（2）当角度在0°—90°间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

知识点3：解直角三角形

由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。