常微分方程笔记（一）

2022-09-27 12:35 作者:啊啊啊每当想起你 0人读过 | 我要投稿

声明：算是用作自己复习的，所以如果写的内容有问题的话可以指出

所使用的教材是中山大学王高雄等老师编著的《常微分方程》（之前拜读过丁同仁老师写的ODE教材，但是看完基础解法以后因为各种原因就没看下去了，以后还会拾起再读的）

以及只是随便写写罢了（顺便学习使用LaTeX），里面都是很基础的内容（也许还会加一些乱七八糟的碎碎念），还望有路过的大佬轻喷，阿巴阿巴

1.1常微分方程概念

1.1.1实/复值微分方程，常/偏微分方程

实值微分方程：自变量、未知函数均取实值的微分方程.

复值微分方程：未知函数取复值的微分方程.

常微分方程（ODE）：自变量只有一个的微分方程.

偏微分方程（PDE）：自变量有两个及以上的微分方程.

1.1.2阶数与线性

阶数：未知函数最高阶导数的阶数（类似于多项式次数的定义）.

线性：如果方程左端为形如： $%5Cfrac%7Bd%5Eny%7D%7Bdx%5En%7D%2Ba_%7Bn-1%7D(x)%5Cfrac%7Bd%5E%7Bn-1%7Dy%7D%7Bdx%5E%7Bn-1%7D%7D%2B...%2Ba_1(x)%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2Ba_0(x)%3Df(x)$

的有理整式，其中 $a_1(x)(i%3D0%2C1%2C...%2Cn-1)%2Cf(x)$ 为已知函数，则称其为n阶线性微分方程；否则称为非线性微分方程.

（线性微分方程也可类比于多项式）

1.1.3解与隐式解

显式解（通称为解）：使微分方程变为恒等式的函数 $y%3D%5Cvarphi%20(x)$ .

隐式解（也成为”积分“）：微分方程的解由隐函数 $%5CPhi%20(x%2Cy)%3D0$ 决定.

1.1.4通解与特解

通解：n阶微分方程中含有n个独立的任意常数 $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n$ 的解 $y%3D%5Cvarphi%20(x%2Cc_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n)$ 称为通解.

此处解对常数的独立性需要使用φ及其n-1阶偏导数关于 $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n$ 的Jacobi行列式

$%5Cfrac%7B%5Cpartial(%CF%86%2C%CF%86'%2C...%2C%CF%86%5E%7B(n-1)%7D)%7D%7B%5Cpartial(c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n)%7D%20%5Cneq0$ .

（需要注意的是，对于线性ODE通解即全部解，但于非线性ODE通解并非全部的解，其全部解需要包含奇解）

定解条件：确定微分方程特定解的所必须的条件（常见的是初值条件和边值条件）.

初值条件：形如以下n个条件： $y(x_0)%3Dy_0%2C%5Cfrac%7Bdy(x_0)%7D%7Bdx%7D%3Dy_%7B0%7D%5E%7B(1)%7D%2C...%2C%5Cfrac%7Bd%5E%7Bn-1%7Dy(x_0)%7D%7Bdx%5E%7Bn-1%7D%7D%3Dy_%7B0%7D%5E%7B(n-1)%7D$

其中 $x_0%2Cy_0%2Cy_%7B0%7D%5E%7B(1)%7D%2C...%2Cy_%7B0%7D%5E%7B(n-1)%7D$ 为给定的n+1个常数.

特解：满足初值条件的解.

1.1.5积分曲线与方向场

积分曲线：一阶微分方程 $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(x%2Cy)$ 的解 $y%3D%5Cvarphi%20(x)$ 表示Oxy平面上的一条曲线，此曲线即微分方程的积分曲线.

方向场（向量场）：可以用函数 $f(x%2Cy)$ 在Oxy平面某区域D定义过各点的小线段的斜率方向，此区域D即方程 $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(x%2Cy)$ 所定义的方向场（向量场）.

等（倾）斜线：方向场中方向相同的曲线 $f(x%2Cy)%3Dk$ .

1.1.6微分方程组

微分方程组：用两个或以上的关系式表示的微分方程即微分方程组，其形式为： $%5Cfrac%7Bdy_i%7D%7Bdt%7D%3Df_i(t%2Cy_1%2C...%2Cy_n)%2Ci%3D1%2C2%2C...%2Cn$

或者写成向量形式： $%5Cfrac%7Bd%7B%5Cboldsymbol%7By%7D%7D%7D%7Bdt%7D%3D%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t%2C%5Cboldsymbol%7By%7D)$

$%5Cboldsymbol%7By%7D%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Ay_1%20%5C%5C%20y_2%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20y_n%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ， $%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t%2C%5Cboldsymbol%7By%7D)%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Af_1(t%2Cy_1%2C...%2Cy_n)%20%5C%5C%0Af_2(t%2Cy_1%2C...%2Cy_n)%20%5C%5C%0A%5Cvdots%20%5C%5C%0Af_n(t%2Cy_1%2C...%2Cy_n)%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ .

1.1.7驻定与非驻定

驻定（自洽）：如果方程组右端不含自变量t（即时间不变）： $%5Cfrac%7Bd%7B%5Cboldsymbol%7By%7D%7D%7D%7Bdt%7D%3D%5Cboldsymbol%7Bf%7D(%5Cboldsymbol%7By%7D)%EF%BC%8C%5Cboldsymbol%7By%7D%5Cin%20D%5Csubseteq%20R%5En%20$ ，

则称其为驻定（自治）的，右端含有自变量t（即时间变化）为非驻定（非自治）的.

1.1.8相空间和轨线

相空间：不含自变量、仅由未知函数构成的空间

轨线：积分曲线在相空间的投影

奇点（平衡解、驻定解、常数解）：驻定微分方程组 $%5Cboldsymbol%7Bf%7D(%5Cboldsymbol%7By%7D)%3D%5Cboldsymbol%7B0%7D$ 的解 $%5Cboldsymbol%7By%7D%3D%5Cboldsymbol%7By%7D%5E*$ 表示相空间的点，它满足微分方程组，此解即奇点

相平面：对于平面一阶驻定微分方程组 $%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3Df(x%2Cy)%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3Dg(x%2Cy)%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Bequation%7D$ ，其相空间(x,y)称为相平面（该驻定方程组积分曲线的特性：时间轴t的平移不影响方向场，即可将该方程的积分曲线投影到(x,y)平面上，该方程组变为 $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bf(x%2Cy)%7D%7Bg(x%2Cy)%7D$ 或 $%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdy%7D%3D%5Cfrac%7Bg(x%2Cy)%7D%7Bf(x%2Cy)%7D$ ，也即其在相平面上的积分曲线就是轨线）