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QFT #5 & #6 相互作用场论

2023-04-26 22:44 作者:湮灭的末影狐  | 我要投稿

# 这门课前五周自由场论,是理论物理本科生必修,后半段相互作用场论作为选修课是从第九周开始的,所以笔记也是停了几周。中间这几周其实研究生还是有课的,内容的话主要是一些量子庞加莱变换、一些分立对称性的讨论。这边暂时没专门整理,因为有一部分笔者已经结合自学理解整理在#4中了,剩下的暂时没空管。

# 这次仍然是两周连更。

电磁场量子化

自由场论这一部分我们讲的比较简略。相关内容一般在规范场论中讨论。

涉及一些电磁场Feynman传播子的内容,所以提几句。

电磁场量子化存在困难:四维势 %5Cmathcal%7BL%7D%3D%5Cmathcal%7BL%7D_f%2B%5Cmathcal%7BL%7D_%7Bint%7D有4个自由度,而物理光子 (0质量) 只有2个极化,需要去掉两个自由度,一般通过选取规范来完成。

下面讨论协变量子化,得到 Feynman 传播子。

先选取 Lorentz 规范。

%5Cpartial_%5Cmu%20A%5E%7B%5Cmu%7D%3D0

电磁场的拉氏量:

%5Cmathcal%7BL%7D_%7BEM%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7DF_%7B%5Cmu%5Cnu%7DF%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D

考虑到Lorentz规范,可以将拉氏量增加一个修正项:

%5Cmathcal%7BL%7D_%7BEM%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7DF_%7B%5Cmu%5Cnu%7DF%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac1%7B2%5Cxi%7D(%5Cpartial_%5Cmu%20A%5E%7B%5Cmu%7D)%5E2

代入欧拉-拉格朗日方程,得

%5Csquare%20%20A_%7B%5Cmu%7D-%5Cleft(1-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cxi%7D%5Cright)%5Cpartial_%5Cmu%20(%5Cpartial%5E%5Cnu%20A_%5Cnu)%20%3D0

可以取 ξ=1,成为 Feynman规范。

然而Lorentz规范过于严格,会出现一些问题,比如说一般的等时量子化会违反Lorentz规范。

实话说这一段我不太熟,没完全搞懂。

不如先记住传播子,以后大约会常用:

%20%20%20%20%5Ctilde%7BD%7D%20_F%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D(k)%20%3D%20-%5Cfrac%7Bi%20g%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D%7D%7Bk%5E2%2Bi%5Cepsilon%7D

传播子这东西,物理含义差不多就是两个点源之间的影响。

自由场论到这收尾结束了,后面该讲后半段相互作用场论了


相互作用场论

%5Cmathcal%7BL%7D%3D%5Cmathcal%7BL%7D_f%2B%5Cmathcal%7BL%7D_%7Bint%7D

这是完整的拉氏量,前一项是只含场的二次型的自由场拉氏量,后一项是相互作用项 (interaction)。

哈密顿量也相应变为

H%3DH_0%2BV%2C%20~~~V%20%3D%20%5Cint%20d%5E3%20x~%5Cmathcal%20H_%7Bint%7D%20%3D%20-%5Cint%20d%5E3%20x~%5Cmathcal%20L_%7Bint%7D

相互作用项至少是三个场的乘积。

回顾自由场论,将场量子化为无穷多谐振子的线性组合,但不同场彼此退耦,互不影响。

相互作用场论中,为无穷多耦合的谐振子。

一些常见的相互作用 Lagrangian:

%5Cmathcal%7BL%7D%3D%5Cmathcal%7BL%7D_%7BKG%20%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3!%7Dg%5Cphi%5E3

%5Cmathcal%7BL%7D%3D%5Cmathcal%7BL%7D_%7BKG%20%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4!%7D%5Clambda%5Cphi%5E4

再如描述核子相互作用的 Yukawa (汤川)理论:

%5Cmathcal%7BL%7D_%7B%5Cmathrm%7BYukawa%7D%7D%3D%5Cmathcal%7BL%7D_%7B%5Cmathrm%7BDirac%7D%20%20%20%7D%20%2B%20%5Cmathcal%7BL%7D_%7BKG%20%7D%20-%5Ckappa%5Cbar%5Cpsi%5Cpsi%5Cphi

量子电动力学,描述电子和光子的相互作用:

%5Cmathcal%7BL%7D_%7BQED%7D%20%3D%20%5Cmathcal%7BL%7D_%7B%5Cmathrm%7BDirac%7D%7D%2B%5Cmathcal%7BL%7D_%7BEM%7D-%20e%20%5Cbar%5Cpsi%5Cgamma%5E%7B%5Cmu%7D%5Cpsi%20A_%5Cmu%20%3D%20%5Cmathcal%7BL%7D_%7Bfree%7D%20-ej%5E%5Cmu%20A_%5Cmu

标量,比如一些带电但不带自旋的粒子和光子的相互作用

L_%7BS%20Q%20E%20D%7D%3DL_%7BE%20M%7D%2BL_%7BC%20K%20G%7D-i%20e%20A_%5Cmu%5Cleft%5B%5Cleft(%5Cpartial%5E%5Cmu%20%5Cphi%5Cright)%20%5Cphi%5E*-%5Cphi%5Cleft(%5Cpartial%5E%5Cmu%20%5Cphi%5E*%5Cright)%5Cright%5D%2B%5Cphi%5E2%20e%5E2%20A_%5Cmu%20A%5E%5Cmu%20.

量子电动力学(QED)以后要重点学习。这里多一些讨论

如果定义协变导数

D_%5Cmu%20%3D%20%5Cpartial_%5Cmu%20%2BieA_%5Cmu

则可以写为

%5Cmathcal%20L_%7BQED%7D%20%3D%20%5Cbar%20%5Cpsi%20(i%20%5Cnot%20D%20-m)%5Cpsi%20-%5Cfrac14%20F_%7B%5Cmu%5Cnu%7DF%5E%7B%5Cmu%5Cnu%7D

该拉氏量存在局域的 U(1) 规范不变。

%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%20%5Cpsi%20%5Crightarrow%20e%5E%7Bi%20%5Calpha(x)%7D%20%5Cpsi%20%5C%5C%0A%26%20A_%5Cmu%20%5Crightarrow%20A_%5Cmu-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%20%5Cpartial_%5Cmu%20%5Calpha%20%5C%5C%0A%26%20D_%5Cmu%20%5Cpsi%20%5Crightarrow%20e%5E%7Bi%20%5Calpha(x)%7D%20D_%5Cmu%20%5Cpsi%20.%0A%5Cend%7Baligned%7D


相互作用QFT存在困难:

相互作用势能项和自由场哈密顿量不对易,所以自由场真空和相互作用场真空不同。

相互作用QFT没有精确解析解,计算复杂。


耦合常数较小时,可用微扰论。

微扰论可以计算不稳定粒子的衰变宽度、散射截面。


* 事实上散射和衰变就是研究微观粒子最重要的物理过程。现实中认识我的朋友也知道,我目前在跟导师做高能实验方向的科研工作,具体来说就是搓代码分析各种奇奇怪怪的衰变过程出来的数据。


S 矩阵

S 矩阵,或叫散射矩阵。关于S矩阵的这一段,感觉课上讲的有点乱。

它是量子散射理论的核心概念,描述系统从初态到末态的振幅。S 矩阵元:

S_%7B%5Cbeta%5Calpha%7D%20%3D%20%5Clangle%5Cbeta_%7Bout%7D%7C%5Calpha_%7Bin%7D%5Crangle%20%3D%20%5Clangle%5Cbeta%7C%5Chat%20S%7C%5Calpha%5Crangle

beta,alpha分别是散射的末态和初态(海森堡绘景下的)。


S矩阵要满足的性质:

S矩阵为幺正的。

S矩阵体现所有的对称性。


S 矩阵常常被写为以下形式:

S_%7B%5Cbeta%5Calpha%7D%20%3D%20%5Cdelta_%7B%5Cbeta%5Calpha%7D%20%2B%20(2%5Cpi)%5E4%5Cdelta%5E4(%5Csum_%7Bin%7Dp_i%20-%20%5Csum_%7Bout%7Dp_j)%20%5Ccdot%20im_%7B%5Cbeta%5Calpha%7D

第一项代表无相互作用的向前散射;第二项的 δ 函数意味着散射过程 4 动量守恒;

m_βα 包含了散射过程的所有动力学,称为不变振幅

只要得到这个不变振幅,就可以进一步计算更多可观测物理量的理论值。


微扰论

传统的微扰论:Lippmann-Schwinger 方程。

%7C%5Cpsi%5Crangle%3D%7C%5Cphi%5Crangle%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BE-H_%7B0%7D%7D%20V%7C%5Cpsi%5Crangle

优势:中间态都是物理的、在壳的

也有缺陷:

中间态能量分母不协变;只有3动量守恒,能量有问题;要考虑不同时序,图大量增加。

都什么年代了,还用传统微扰论?

协变微扰论?


相互作用绘景

相互作用绘景 (I) 介于海森堡绘景 (H) 和薛定谔 (S) 绘景之间。

话说相互作用下哈密顿量有自由场部分 H0,一般不含时;有相互作用部分 V,一般含时。即:

H%20(t)%20%3D%20H_0%20%2B%20V(t)

S绘景把所有时间演化塞给态矢,H绘景把所有时间演化塞给算符。

相互作用绘景的思路就是只把 H0 的影响塞给态矢。

State: %5Cleft%7C%5Cpsi%5EI(t)%5Cright%5Crangle%3De%5E%7Bi%20H_0%20t%7D%5Cleft%7C%5Cpsi%5ES(t)%5Cright%5Crangle

Operator: O%5EI(t)%3De%5E%7Bi%20H_0%20t%7D%20O%5ES%20e%5E%7B-i%20H_0%20t%7D

于是相互作用绘景的态和算符满足的时间演化方程为:

%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%0Ai%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Cleft%7C%5Cpsi%5EI(t)%5Cright%5Crangle%20%26%20%3DV(t)%5Cleft%7C%5Cpsi%5EI(t)%5Cright%5Crangle%20.%20%5C%5C%0Ai%20%5Cdot%7BO%7D%5EI(t)%20%26%20%3D%5Cleft%5BO%5EI(t)%2C%20H_0%5Cright%5D%0A%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.


基于相互作用绘景,可以进行一些散射矩阵的计算。


利用上面的方程 i%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Cleft%7C%5Cpsi%5EI(t)%5Cright%5Crangle%20%20%3DV(t)%5Cleft%7C%5Cpsi%5EI(t)%5Cright%5Crangle,考虑到初态就是

%7Ci%5Crangle%20%3D%20%7C%5Cpsi%5EI(-%5Cinfty)%5Crangle

于是把态写成形式

%5Cleft%7C%5Cpsi%5EI(t)%5Cright%5Crangle%3D%7Ci%5Crangle%2B%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5Et%20d%20t_1%20V(t_1)%5Cleft%7C%5Cpsi%5EI(t_1)%5Cright%5Crangle

反复迭代,利用 Dyson 级数,(我不太熟,总之是一些很神奇的数学寄巧),给出S算符的一种积分形式:

%5Chat%7BS%7D%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(-1)%5En%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%20!%7D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20d%20t_1%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20d%20t_2%20%5Ccdot%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20d%20t_n%20T%5Cleft%5BV%5Cleft(t_1%5Cright)%20V%5Cleft(t_2%5Cright)%20%5Ccdots%20V%5Cleft(t_n%5Cright)%5Cright%5D

S算符将散射初态变换到散射末态。

可以利用 V%3D%5Cint%20d%5E3%20x%20%5Cmathcal%7BH%7D_%7B%5Ctext%20%7Bint%20%7D%7D(x)%3D-%5Cint%20d%5E3%20x%20%5Cmathcal%7BL%7D_%7Bi%20n%20t%7D(x)

把散射算符写成这一形式:

%5Chat%7BS%7D%3D%5Coperatorname%7BTexp%7D%5Cleft%5B-i%20%5Cint%20d%5E4%20x%20%5Cmathcal%7BH%7D_%7Bi%20n%20t%7D%5EI(x)%5Cright%5D


【时序乘积】

上面积分式中的 T%5BV(t_1)V(t_2)%5Ccdots%20V(t_n)%5D 就是时序乘积,

T的作用是把后面那些乘积强行按照时间先后顺序排列。

摘自中山大学讲义

为了处理时序乘积,需要 Wick 定理。

而在讨论Wick定理之前,又需要再引入一个正则排序

也就是在一系列算符乘积中,改变顺序把所有产生算符放左边,湮灭算符放右边。

讨论比较复杂,这里先放结论:

【Wick 定理】

其中场算符的 “缩并” 定义为:

例如,四个场算符的时序乘积,应用 Wick 定理应为:


举例:%5Cphi%5E4势散射计算。

最后这一段直接上手写笔记了,因为很多费曼图,而专栏有图片数量限制。下面就是一个散射计算的事例,具体过程是两个标量粒子 Φ 按 Φ^4 势相互作用发生散射的具体计算。

经过这些计算,得到被考虑的相互作用的费曼规则之后,只需要画出所有有贡献的费曼图,就可以利用费曼规则直接得出不变振幅 m_βα 了。

这次先到这里,之后的笔记会讨论更多相互作用势的费曼规则。

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