QFT #5 & #6 相互作用场论

# 这门课前五周自由场论,是理论物理本科生必修,后半段相互作用场论作为选修课是从第九周开始的,所以笔记也是停了几周。中间这几周其实研究生还是有课的,内容的话主要是一些量子庞加莱变换、一些分立对称性的讨论。这边暂时没专门整理,因为有一部分笔者已经结合自学理解整理在#4中了,剩下的暂时没空管。
# 这次仍然是两周连更。

电磁场量子化
自由场论这一部分我们讲的比较简略。相关内容一般在规范场论中讨论。
涉及一些电磁场Feynman传播子的内容,所以提几句。
电磁场量子化存在困难:四维势 有4个自由度,而物理光子 (0质量) 只有2个极化,需要去掉两个自由度,一般通过选取规范来完成。
下面讨论协变量子化,得到 Feynman 传播子。
先选取 Lorentz 规范。
电磁场的拉氏量:
考虑到Lorentz规范,可以将拉氏量增加一个修正项:
代入欧拉-拉格朗日方程,得
可以取 ξ=1,成为 Feynman规范。
然而Lorentz规范过于严格,会出现一些问题,比如说一般的等时量子化会违反Lorentz规范。
实话说这一段我不太熟,没完全搞懂。

不如先记住传播子,以后大约会常用:
传播子这东西,物理含义差不多就是两个点源之间的影响。
自由场论到这收尾结束了,后面该讲后半段相互作用场论了
相互作用场论
这是完整的拉氏量,前一项是只含场的二次型的自由场拉氏量,后一项是相互作用项 (interaction)。
哈密顿量也相应变为
相互作用项至少是三个场的乘积。
回顾自由场论,将场量子化为无穷多谐振子的线性组合,但不同场彼此退耦,互不影响。
相互作用场论中,为无穷多耦合的谐振子。
一些常见的相互作用 Lagrangian:
再如描述核子相互作用的 Yukawa (汤川)理论:
量子电动力学,描述电子和光子的相互作用:
标量,比如一些带电但不带自旋的粒子和光子的相互作用
量子电动力学(QED)以后要重点学习。这里多一些讨论
如果定义协变导数
则可以写为
该拉氏量存在局域的 U(1) 规范不变。
相互作用QFT存在困难:
相互作用势能项和自由场哈密顿量不对易,所以自由场真空和相互作用场真空不同。
相互作用QFT没有精确解析解,计算复杂。
耦合常数较小时,可用微扰论。
微扰论可以计算不稳定粒子的衰变宽度、散射截面。
* 事实上散射和衰变就是研究微观粒子最重要的物理过程。现实中认识我的朋友也知道,我目前在跟导师做高能实验方向的科研工作,具体来说就是搓代码分析各种奇奇怪怪的衰变过程出来的数据。
S 矩阵
S 矩阵,或叫散射矩阵。关于S矩阵的这一段,感觉课上讲的有点乱。
它是量子散射理论的核心概念,描述系统从初态到末态的振幅。S 矩阵元:
beta,alpha分别是散射的末态和初态(海森堡绘景下的)。
S矩阵要满足的性质:
S矩阵为幺正的。
S矩阵体现所有的对称性。
S 矩阵常常被写为以下形式:
第一项代表无相互作用的向前散射;第二项的 δ 函数意味着散射过程 4 动量守恒;
m_βα 包含了散射过程的所有动力学,称为不变振幅。
只要得到这个不变振幅,就可以进一步计算更多可观测物理量的理论值。
微扰论
传统的微扰论:Lippmann-Schwinger 方程。
优势:中间态都是物理的、在壳的
也有缺陷:
中间态能量分母不协变;只有3动量守恒,能量有问题;要考虑不同时序,图大量增加。
都什么年代了,还用传统微扰论?
协变微扰论?
相互作用绘景
相互作用绘景 (I) 介于海森堡绘景 (H) 和薛定谔 (S) 绘景之间。
话说相互作用下哈密顿量有自由场部分 H0,一般不含时;有相互作用部分 V,一般含时。即:
S绘景把所有时间演化塞给态矢,H绘景把所有时间演化塞给算符。
相互作用绘景的思路就是只把 H0 的影响塞给态矢。
State:
Operator:
于是相互作用绘景的态和算符满足的时间演化方程为:
基于相互作用绘景,可以进行一些散射矩阵的计算。
利用上面的方程 ,考虑到初态就是
于是把态写成形式
反复迭代,利用 Dyson 级数,(我不太熟,总之是一些很神奇的数学寄巧),给出S算符的一种积分形式:
S算符将散射初态变换到散射末态。
可以利用
把散射算符写成这一形式:
【时序乘积】
上面积分式中的 就是时序乘积,
T的作用是把后面那些乘积强行按照时间先后顺序排列。

为了处理时序乘积,需要 Wick 定理。
而在讨论Wick定理之前,又需要再引入一个正则排序:

也就是在一系列算符乘积中,改变顺序把所有产生算符放左边,湮灭算符放右边。
讨论比较复杂,这里先放结论:
【Wick 定理】

其中场算符的 “缩并” 定义为:

例如,四个场算符的时序乘积,应用 Wick 定理应为:

举例:势散射计算。
最后这一段直接上手写笔记了,因为很多费曼图,而专栏有图片数量限制。下面就是一个散射计算的事例,具体过程是两个标量粒子 Φ 按 Φ^4 势相互作用发生散射的具体计算。
经过这些计算,得到被考虑的相互作用的费曼规则之后,只需要画出所有有贡献的费曼图,就可以利用费曼规则直接得出不变振幅 m_βα 了。



这次先到这里,之后的笔记会讨论更多相互作用势的费曼规则。